Calcule as derivadas abaixo:
Sabendo que cos ^prime=-sin e sin ^prime=cos, cacule as derivadas primeira e segunda de f:(0,+infty) R dada por sin (ln (raizx^3)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função bem legal para derivar: $ f(x) = \sin\left(\ln\left(\sqrt{x^{3}}\right)\right) $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas, como funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno para facilitar a derivação. Lembre-se que $ \sqrt{x^{3}} = x^{\frac{3}{2}} $ e que $ \ln(x^{a}) = a \ln(x) $. Então:
raizx^3 = x^32
Agora, nossa função fica:
ln(x^a) = a ln(x)

Passo 3

Vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Usaremos a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Seja $ u = \frac{3}{2} \ln(x) $, então $ f(x) = \sin(u) $.
Primeiro, derivamos $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
f(x)
Em seguida, derivamos $ u = \frac{3}{2} \ln(x) $ em relação a $ x $:
u = 32 ln(x)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = ddu sin(u) cdot dudx = cos(32 ln(x)) cdot 32x
Simplificando, temos:
f'(x) = 32x cos(32 ln(x))

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $. Vemos que $ f’(x) $ é uma função composta que envolve $ \cos\left(\frac{3}{2} \ln(x)\right) $ e um fator $ \frac{3}{2x} $. Precisamos aplicar novamente a regra da cadeia para derivar essa expressão.
Primeiro, identifiquemos duas partes:
  • Parte 1: $ \frac{3}{2x} $
  • Parte 2: $ \cos\left(\frac{3}{2} \ln(x)\right) $
Vamos derivar cada parte separadamente e depois usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.

Passo 6

Derivando a Parte 1:
ddx ( 32x ) = 32 cdot ddx ( x^-1 ) = 32 cdot (-1) x^-2 = -32x^2
Derivando a Parte 2:
Seja $ v = \frac{3}{2} \ln(x) $, então $ \cos(v) $.
Primeiro, derivamos $ \cos(v) $ em relação a $ v $:
v = 32 ln(x)
Depois, derivamos $ v = \frac{3}{2} \ln(x) $ em relação a $ x $:
cos(v)
Aplicando a regra da cadeia:
cos(v)

Passo 7

Agora, aplicando a regra do produto para $ f’(x) $:
f'(x)
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
f''(x) = ( -32x^2 ) cdot cos(32 ln(x)) + 32x cdot ( -sin(32 ln(x)) cdot 32x )
Segundo termo:
-32x^2 cos(32 ln(x))

Passo 8

Juntando os dois termos, a segunda derivada fica:
f''(x) = -32x^2 cos(32 ln(x)) - 94x^2 sin(32 ln(x))
Podemos fatorar $ -\frac{3}{2x^{2}} $ para simplificar:
-32x^2

Resposta

A primeira derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
E a segunda derivada de $ f(x) $ é:
f'(x) = 32x cos(32 ln(x))

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