Calcule as derivadas abaixo:
Sabendo que
e
, cacule as derivadas primeira e segunda de
dada por
.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função bem legal para derivar: $ f(x) = \sin\left(\ln\left(\sqrt{x^{3}}\right)\right) $. Vamos trabalhar com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções compostas, como funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do seno para facilitar a derivação. Lembre-se que $ \sqrt{x^{3}} = x^{\frac{3}{2}} $ e que $ \ln(x^{a}) = a \ln(x) $. Então:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
Vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. Usaremos a regra da cadeia, que basicamente diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa vezes a derivada da função interna.
Seja $ u = \frac{3}{2} \ln(x) $, então $ f(x) = \sin(u) $.
Primeiro, derivamos $ \sin(u) $ em relação a $ u $:
Em seguida, derivamos $ u = \frac{3}{2} \ln(x) $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as duas derivadas que encontramos:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $. Vemos que $ f’(x) $ é uma função composta que envolve $ \cos\left(\frac{3}{2} \ln(x)\right) $ e um fator $ \frac{3}{2x} $. Precisamos aplicar novamente a regra da cadeia para derivar essa expressão.
Primeiro, identifiquemos duas partes:
- Parte 1: $ \frac{3}{2x} $
- Parte 2: $ \cos\left(\frac{3}{2} \ln(x)\right) $
Vamos derivar cada parte separadamente e depois usar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Passo 6
Derivando a Parte 1:
Derivando a Parte 2:
Seja $ v = \frac{3}{2} \ln(x) $, então $ \cos(v) $.
Primeiro, derivamos $ \cos(v) $ em relação a $ v $:
Depois, derivamos $ v = \frac{3}{2} \ln(x) $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Agora, aplicando a regra do produto para $ f’(x) $:
Simplificando cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 8
Juntando os dois termos, a segunda derivada fica:
Podemos fatorar $ -\frac{3}{2x^{2}} $ para simplificar:
Resposta
A primeira derivada de $ f(x) $ é:
E a segunda derivada de $ f(x) $ é: