Nos Exercs. 3 a 8, obtenha as séries de Laurent das funçōes dadas, nas situações indicadas.
f(z)=z^5z-1, z0=0, |z|>1.

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de f(z)= z^5z-1 centrada em z₀=0 válida para |z|>1. Vamos usar expansão em série geométrica e depois ajustar multiplicando por z⁵.

Passo 2

Queremos reescrever 1/(z-1) de modo que sobre série geométrica em 1/z. Note que para |z|>1 temos |1/z|<1, então
1z-1=1zcdot11-1z=1zsumn=0^inftyl(1zr)^n=sumn=0^inftyz^-(n+1)

Passo 3

Agora basta multiplicar a expansão acima por z⁵:
f(z)=z^5cdot1z-1=z^5sumn=0^inftyz^-(n+1)=sumn=0^inftyz^5-(n+1)=sumn=0^inftyz^4-n

Passo 4

Para visualizar melhor, quando n=0,1,2,3,4 temos termos com potências positivas de z, e para n≥5 surgem potências negativas indefinidamente. Logo a série de Laurent é:
f(z)=z^4+z^3+z^2+z+1+z^-1+z^-2+cdots

Resposta

f(z)=sumn=0^inftyz^4-n=z^4+z^3+z^2+z+1+z^-1+z^-2+cdots, válida para |z|>1.

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