Calcule as derivadas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função $ \sin\left(\ln\left(x^{2} + e^{x}\right)\right) $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é super útil quando temos funções compostas, como aqui que temos seno e logaritmo juntos. Vamos precisar saber derivar funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Vamos chamar:
A Regra da Cadeia diz que, para derivar $ \sin(u) $, onde $ u $ é uma função de $ x $, a derivada será $ \cos(u) $ multiplicado pela derivada de $ u $.
Aqui, $ u = \ln\left(x^{2} + e^{x}\right) $, então precisamos achar $ u’ $.
Passo 3
Vamos derivar $ u = \ln\left(x^{2} + e^{x}\right) $. Sabemos que a derivada de $ \ln(v) $ é $ \frac{v’}{v} $. Então, precisamos primeiro derivar $ v = x^{2} + e^{x} $:
Agora, aplicando a derivada do logaritmo:
Passo 4
Agora que temos $ u’ $, vamos voltar à derivada de $ f(x) $:
Substituindo $ u’ $:
Resposta
A derivada da função é