Calcule as derivadas abaixo:
[sen(ln (x^2+e^x)]^prime

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente precisa calcular a derivada da função $ \sin\left(\ln\left(x^{2} + e^{x}\right)\right) $. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é super útil quando temos funções compostas, como aqui que temos seno e logaritmo juntos. Vamos precisar saber derivar funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Vamos chamar:
f(x) = sin(ln(x^2 + e^x))
A Regra da Cadeia diz que, para derivar $ \sin(u) $, onde $ u $ é uma função de $ x $, a derivada será $ \cos(u) $ multiplicado pela derivada de $ u $.
Aqui, $ u = \ln\left(x^{2} + e^{x}\right) $, então precisamos achar $ u’ $.

Passo 3

Vamos derivar $ u = \ln\left(x^{2} + e^{x}\right) $. Sabemos que a derivada de $ \ln(v) $ é $ \frac{v’}{v} $. Então, precisamos primeiro derivar $ v = x^{2} + e^{x} $:
u = ln(x^2 + e^x)
Agora, aplicando a derivada do logaritmo:
ln(v)

Passo 4

Agora que temos $ u’ $, vamos voltar à derivada de $ f(x) $:
u'
Substituindo $ u’ $:
f(x)

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = 2x + e^xx^2 + e^x cdot cos(ln(x^2 + e^x))

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