Considere a função g(x)=ll-x^2+2, & x<1 3 x-2, & x >= 1.
Determine a função g^prime(x) usando a definição de derivada e esboce os gráficos de g e g^prime no mesmo sistema de eixos.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
g(x) = -x^2 + 2, & se x < 1 3x - 2, & se x >= 1
O conteúdo envolvido aqui inclui derivadas e funções por partes. Para resolver, vamos usar a definição de derivada para cada parte da função.

Passo 2

Vamos derivar a primeira parte da função, onde g(x) = -x^2 + 2 :
g'(x) = ddx(-x^2 + 2)
A derivada de g'(x) = -2x em relação a é:
Usando as regras básicas de derivação, sabemos que a derivada de é e a derivada de uma constante, como 2, é 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, onde g(x) = 3x - 2 :
g'(x) = ddx(3x - 2)
A derivada de g'(x) = 3 em relação a é:
Aplicando as regras de derivação, a derivada de é 3 e a derivada de uma constante, como -2, é 0. Portanto:

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas das duas partes para obter a derivada completa da função g'(x) = -2x, & se x < 1 3, & se x >= 1 :

Resposta

A derivada da função g'(x) = -2x, & se x < 1 3, & se x >= 1 é:
Para esboçar os gráficos de e no mesmo sistema de eixos, você pode plotar cada parte das funções conforme definido e observar como elas se comportam em relação ao ponto .

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