Encontre d yd x usando a regra da cadeia.
y=sen^3(2 x+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. O enunciado é . Para isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Aqui, temos uma função externa e uma interna:
  • Função externa: , onde
  • Função interna:
Isso significa que nossa função é uma função externa aplicada à função interna.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Em termos matemáticos:
dydx = dydu cdot dudx

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Derivada da função externa ( dydu = 3u^2 ):
    Como dudx = cos(2x + 1) cdot ddx(2x + 1) = cos(2x + 1) cdot 2 = 2cos(2x + 1) , a derivada em relação a é:
  2. Derivada da função interna ( ):
    Sabemos que . A derivada de em relação a é , e então multiplicamos pela derivada de em relação a (onde ):

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes usando a regra da cadeia:
dydx = dydu cdot dudx = 3u^2 cdot 2cos(2x + 1) = 6u^2cos(2x + 1)
Lembrando que dydx = 6sin^2(2x + 1)cos(2x + 1) , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de dydx = 6,sin^2(2x + 1)cos(2x + 1) em relação a é:

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