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usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia. A função que temos é
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e também entender um pouquinho sobre derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa expressão mais complicada. Podemos considerar a parte interna da função, que é
. Assim, a nossa função
fica mais simples:
.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta
, onde
, é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira parte,
. Como
, a derivada é:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Vamos derivar
usando a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Passo 6
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos:
Então, a derivada
fica:
Passo 9
Voltando à regra da cadeia, substituímos
e
na expressão original:
Lembrando que
, então:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: