Encontre d yd x usando a regra da cadeia.
y=(sen x+1cos x-1)^10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a derivada de em relação a usando a regra da cadeia. A função que temos é . Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e também entender um pouquinho sobre derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem essa expressão mais complicada. Podemos considerar a parte interna da função, que é . Assim, a nossa função fica mais simples: .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta , onde , é . No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte, dydu = 10u^9 . Como , a derivada é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Vamos derivar usando a regra do quociente, que diz que a derivada de é .

Passo 6

Primeiro, derivamos o numerador e o denominador:
f(x) = sin x + 1 Rightarrow f'(x) = cos x
g(x) = cos x - 1 Rightarrow g'(x) = -sin x

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:
dudx = cos x (cos x - 1) - (sin x + 1)(-sin x)(cos x - 1)^2
Vamos simplificar o numerador:
cos x (cos x - 1) + (sin x + 1)sin x = cos^2x - cos x + sin^2x + sin x

Passo 8

Lembrando que 1 - cos x + sin x , substituímos:
dudx = 1 - cos x + sin x(cos x - 1)^2
Então, a derivada fica:

Passo 9

Voltando à regra da cadeia, substituímos dydx = 10u^9 times 1 - cos x + sin x(cos x - 1)^2 e dydx = 10(sin x + 1cos x - 1)^9 times 1 - cos x + sin x(cos x - 1)^2 na expressão original:
Lembrando que , então:

Resposta

A derivada de dydx = 10(sin x + 1cos x - 1)^9 times 1 - cos x + sin x(cos x - 1)^2 em relação a é:

Exercícios relacionados