Calcule as derivadas abaixo: y=f(x), em x cdot sen y=y cdot sen x+1

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a relação implícita
xsin y = ysin x + 1
Queremos encontrar tfracdydx usando derivação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x:
Derivada do lado esquerdo:
ddx(xsin y)=1cdotsin y + xcdotcos ycdotdydx
Derivada do lado direito:
ddx(ysin x +1)=dydxcdotsin x + ycdotcos x +0

Passo 3

Agora agrupamos os termos que têm tfracdydx de um lado e isolamos:
sin y + xcos y,y'=y'sin x + ycos x
Passando os termos com y' para a esquerda e os sem y' para a direita:
xcos y,y' - sin x,y'=ycos x - sin y
Fatorando y':
y'(xcos y - sin x)=ycos x - sin y

Passo 4

Dividindo ambos os lados por (xcos y - sin x) obtemos:
dydx=ycos x - sin yxcos y - sin x

Resposta

dydx=ycos x - sin yxcos y - sin x

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