Calcule as derivadas abaixo: y=(x^4+2)^5 cdot(x^3+2 x)^4

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=(x^4+2)^5cdot(x^3+2x)^4. O conteúdo envolve aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos u=(x^4+2)^5 e v=(x^3+2x)^4. Pela regra do produto, temos y'=u'v+uv'. Vamos calcular u' e v'.

Passo 3

Para u=(x^4+2)^5, aplicamos a cadeia: seja w=x^4+2, então u=w^5 e
w'=ddx(x^4+2)=4x^3,
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u'=5w^4cdot w'=5(x^4+2)^4cdot4x^3=20x^3(x^4+2)^4
Para v=(x^3+2x)^4, seja z=x^3+2x com
z'=3x^2+2,
então
v'=4z^3cdot z'=4(x^3+2x)^3(3x^2+2)

Passo 4

Substituindo em y'=u'v+uv', obtemos
y'=20x^3(x^4+2)^4cdot(x^3+2x)^4+(x^4+2)^5cdot4(x^3+2x)^3(3x^2+2)
Fatorando 4(x^4+2)^4(x^3+2x)^3), fica
y'=4(x^4+2)^4(x^3+2x)^3l[5x^3(x^3+2x)+(x^4+2)(3x^2+2)r]
Expandindo e simplificando o colchete resulta
y'=8(x^4+2)^4(x^3+2x)^3(4x^6+6x^4+3x^2+2)

Resposta

boxedy'=8(x^4+2)^4,(x^3+2x)^3,(4x^6+6x^4+3x^2+2)

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