Esboce a regiáo R delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se integral(x, y) ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse integral duplaR f(x, y) d A como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
23 y=x^3,
y=8

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y = x³ e y = 8, e depois escrever ∬_R f(x,y) dA como integral iterada primeiro usando o Teorema 17.8(i) (região do tipo I) e depois usando o Teorema 17.8(ii) (região do tipo II). Vamos precisar achar onde as duas curvas se interceptam e identificar limites de integração.

Passo 2

Para encontrar a interseção das curvas, igualamos x³ = 8. Isso dá x = 2. Além disso, note que a curva y = x³ em x = 0 passa por (0,0). Como a reta y = 8 não se cruza com y = x³ para x negativo de forma a fechar uma região limitada, assumimos que R está no primeiro quadrante e é fechada pelas três curvas y = x³, y = 8 e pelo eixo y (x = 0). O esboço é um “sete” deitado, de x=0 até x=2, de y indo de x³ até 8.

Passo 3

Para aplicar o Teorema 17.8(i) (tipo I), tomamos x como variável externa: primeiro fixamos x entre 0 e 2; para cada x, y varia de y = x³ (inferior) até y = 8 (superior). Assim

Passo 4

Para aplicar o Teorema 17.8(ii) (tipo II), tomamos y como variável externa: primeiro fixamos y entre 0 (onde x³=0) e 8; para cada y, x varia da vertical x = 0 até a curva x = \sqrt[3]{y}. Assim

Resposta

(a) integral duplaRf(x,y),dA=integral0^2integralx^3^8f(x,y),dy,dx. (b) integral duplaRf(x,y),dA=integral0^8integral0^raiz[3]yf(x,y),dx,dy.

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