Esboce a regiáo
delimitada pelos gráficos das equaçōes dadas. Se
ć uma funçăo contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada, usando (a) somente o Teorema (17.8)(i) e (b) somente o Teorema (17.8)(ii).
,
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y = x³ e y = 8, e depois escrever ∬_R f(x,y) dA como integral iterada primeiro usando o Teorema 17.8(i) (região do tipo I) e depois usando o Teorema 17.8(ii) (região do tipo II). Vamos precisar achar onde as duas curvas se interceptam e identificar limites de integração.
Passo 2
Para encontrar a interseção das curvas, igualamos x³ = 8. Isso dá x = 2. Além disso, note que a curva y = x³ em x = 0 passa por (0,0). Como a reta y = 8 não se cruza com y = x³ para x negativo de forma a fechar uma região limitada, assumimos que R está no primeiro quadrante e é fechada pelas três curvas y = x³, y = 8 e pelo eixo y (x = 0). O esboço é um “sete” deitado, de x=0 até x=2, de y indo de x³ até 8.
Passo 3
Para aplicar o Teorema 17.8(i) (tipo I), tomamos x como variável externa: primeiro fixamos x entre 0 e 2; para cada x, y varia de y = x³ (inferior) até y = 8 (superior). Assim
Passo 4
Para aplicar o Teorema 17.8(ii) (tipo II), tomamos y como variável externa: primeiro fixamos y entre 0 (onde x³=0) e 8; para cada y, x varia da vertical x = 0 até a curva x = \sqrt[3]{y}. Assim
Resposta
(a)
. (b)
.