Calcule a integral iterada.
$$
5 \int_{-1}^{2} \int_{1}{x{2}} \int_{0}^{x+y} 2 x^{2} y d z d y d x$$

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral iterada
5 integral-1^2 integral1^x^2 integral0^x+y 2 x^2 y , dz , dy , dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas e iteradas. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar em cada variável na ordem z, depois y e por fim x, lidando com limites que dependem das outras variáveis e funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, integramos em z. Como 2 x^2 y independe de z, a integral
integral0^x+y 2 x^2 y , dz
é dada por multiplicar o integrando pelo comprimento do intervalo em z, resultando em
2 x^2 y ,(x+y)

Passo 3

Agora, usamos este resultado para a integral em y:
integral1^x^2 2 x^2 y ,(x+y) , dy
Expandimos o integrando:
2 x^2 y,(x+y) = 2 x^3 y + 2 x^2 y^2,
depois encontramos a antiderivada em y:
integral (2 x^3 y + 2 x^2 y^2) , dy = x^3 y^2 + tfrac23 x^2 y^3
Avaliando de y=1 até y=x^2, obtemos
x^3(x^2)^2 + tfrac23 x^2(x^2)^3 - l(x^3 + tfrac23 x^2r) = x^7 + tfrac23 x^8 - x^3 - tfrac23 x^2
Chamamos isso de F(x).

Passo 4

Em seguida, integramos F(x) em x de -1 a 2:
integral-1^2 l(x^7 + tfrac23 x^8 - x^3 - tfrac23 x^2r) , dx
As antiderivadas são:
integral x^7 dx = tfracx^88, integral tfrac23 x^8 dx = tfrac227 x^9, integral (-x^3) dx = -tfracx^44, integral l(-tfrac23 x^2r) dx = -tfrac29 x^3
Avaliando de -1 a 2 e fazendo a diferença de limites, obtemos
461772

Passo 5

Por fim, lembramos do fator 5 que estava multiplicando toda a integral. Multiplicamos
5 times 461772 = 25658,
e chegamos ao resultado final.

Resposta

2565/8

Exercícios relacionados