Calcule a integral iterada.
$$
5 \int_{-1}^{2} \int_{1}{x{2}} \int_{0}^{x+y} 2 x^{2} y d z d y d x$$
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a integral iterada
O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas e iteradas. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrar em cada variável na ordem
, depois
e por fim
, lidando com limites que dependem das outras variáveis e funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, integramos em
. Como
independe de
, a integral
é dada por multiplicar o integrando pelo comprimento do intervalo em
, resultando em
Passo 3
Agora, usamos este resultado para a integral em
:
Expandimos o integrando:
depois encontramos a antiderivada em
:
Avaliando de
até
, obtemos
Chamamos isso de
.
Passo 4
Em seguida, integramos
em
de
a
:
As antiderivadas são:
Avaliando de
a
e fazendo a diferença de limites, obtemos
Passo 5
Por fim, lembramos do fator 5 que estava multiplicando toda a integral. Multiplicamos
e chegamos ao resultado final.
Resposta
2565/8