Calcule as derivadas abaixo: y=(x^3-1x^2+4)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de uma função do tipo y=l(x^3-1x^2+4r)^3. O conteúdo envolve regra da cadeia (pois temos uma potência) e regra do quociente (pois dentro da potência há uma fração).

Passo 2

Definimos u=x^3-1x^2+4, de modo que y=u^3. Pela regra da cadeia, temos y'=3u^2cdot u'.

Passo 3

Agora, para achar u', aplicamos a regra do quociente: se u=f(x)g(x), então u'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]^2. Aqui f(x)=x^3-1 e g(x)=x^2+4. Logo,
f'(x)=3x^2, g'(x)=2x,
e
u'=3x^2(x^2+4)-(x^3-1)(2x)(x^2+4)^2 = 3x^4+12x^2-2x^4+2x(x^2+4)^2 = x^4+12x^2+2x(x^2+4)^2

Passo 4

Substituindo em y'=3u^2cdot u' e lembrando que u^2=(x^3-1)^2(x^2+4)^2, temos
y'=3cdot(x^3-1)^2(x^2+4)^2cdotx^4+12x^2+2x(x^2+4)^2 = 3,(x^3-1)^2(x^4+12x^2+2x)(x^2+4)^4

Resposta

y'=3,(x^3-1)^2,(x^4+12x^2+2x)(x^2+4)^4

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