Calcule as derivadas abaixo: y=(x^4+2)^5 cdot e^3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de y=(x^4+2)^5cdot e^3x. Vamos usar os conteúdos de regra do produto e regra da cadeia para exponenciais e potências.

Passo 2

Identificamos as duas funções envolvidas: u(x)=(x^4+2)^5 e v(x)=e^3x. Pela regra do produto temos:
y'=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Para obter u'(x) aplicamos a regra da cadeia em u(x)=(x^4+2)^5. Primeiro derivamos a potência e depois multiplicamos pela derivada do interior:
u'(x)=5igl(x^4+2igr)^4igl(4x^3r)=20x^3igl(x^4+2r)^4 

Passo 4

Para v'(x) usamos a derivada de e^3x, que é ela mesma vezes a derivada de 3x:
v'(x)=e^3xcdot3=3e^3x

Passo 5

Substituindo u,u',v,v' na fórmula do produto obtemos:
y'=20x^3igl(x^4+2r)^4e^3x+ (x^4+2)^5cdot3e^3x 

Passo 6

Para simplificar, fatoramos e^3x e (x^4+2)^4:
y'=e^3x(x^4+2)^4igl(20x^3+3(x^4+2)r) 
E, distribuindo 3, chega-se a:
y'=e^3x(x^4+2)^4igl(3x^4+20x^3+6r) 

Resposta

y'=e^3x(x^4+2)^4(3x^4+20x^3+6)

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