Calcule a integral iterada.
$$
4 \int_{1}^{2} \int_{0}{z{2}} \int_{x+z}^{x-z} z d y d x d z$$

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral iterada
4 integralz=1^2 integralx=0^z^2 integraly=x+z^x-z z,dy,dx,dz
Isso é conteúdo de integrais iteradas e uso da propriedade de troca de limites quando a ordem de integração dá intervalo invertido. Vamos usar:
– Integral de uma função constante em relação a y.
– Se o limite inferior é maior que o superior, a integral muda de sinal.

Passo 2

Como z é constante em relação a y, calculamos primeiro
integraly=x+z^x-z z,dy
Repare que o limite superior x-z é menor que o inferior x+z). Então podemos trocar os limites e introduzir um sinal negativo:
integralx+z^x-z z,dy = -integralx-z^x+z z,dy = -zl[(y)r]y=x-z^y=x+z = -zl[(x+z)-(x-z)r] = -zcdot(2z) = -2z^2

Passo 3

Agora substituímos no integral de x:
integralx=0^z^2l(-2z^2r),dx = -2z^2integral0^z^21,dx = -2z^2cdotl[xr]0^z^2 = -2z^2cdot(z^2) = -2z^4

Passo 4

Falta integrar em z e multiplicar por 4:
4integral1^2(-2z^4),dz = -8integral1^2z^4,dz = -8l[tfracz^55r]1^2 = -8l(tfrac325-tfrac15r) = -8cdottfrac315 = -tfrac2485

Passo 5

Esse é o valor da integral iterada pedida.

Resposta

-\tfrac{248}{5}

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