Calcule a integral iterada.
$$
4 \int_{1}^{2} \int_{0}{z{2}} \int_{x+z}^{x-z} z d y d x d z$$
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral iterada
Isso é conteúdo de integrais iteradas e uso da propriedade de troca de limites quando a ordem de integração dá intervalo invertido. Vamos usar:
– Integral de uma função constante em relação a .
– Se o limite inferior é maior que o superior, a integral muda de sinal.
– Integral de uma função constante em relação a
– Se o limite inferior é maior que o superior, a integral muda de sinal.
Passo 2
Como
é constante em relação a
, calculamos primeiro
Repare que o limite superior
é menor que o inferior
. Então podemos trocar os limites e introduzir um sinal negativo:
Passo 3
Agora substituímos no integral de
:
Passo 4
Falta integrar em
e multiplicar por 4:
Passo 5
Esse é o valor da integral iterada pedida.
Resposta
-\tfrac{248}{5}