Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
f(x)=x^{2}-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-2x e pede para calcular as derivadas dessa função.
Informações relevantes: a função está dada em termos da variável x. O objetivo é achar a derivada de f em função de x, isto é, f'(x) (derivada em relação a x).\n

Passo 2

Vamos lembrar a definição de derivada (a base teórica). A derivada de uma função f em um ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um incremento pequeno em x. Essa fórmula mede a taxa de variação instantânea de f em x. Em provas costuma ser mais rápido usar regras prontas (como regra do poder e linearidade), mas entender a definição ajuda a confiar nas regras.\n

Passo 3

As regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem do operador derivada. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x),
onde c é constante.
  • Regra do poder (caso simples que usamos aqui): para n inteiro positivo,
\frac{d}{dx} x^{n}=n x^{n-1}.
Vou mostrar rapidamente por que \frac{d}{dx}x^{2}=2x usando a definição, para você ver que a regra não é mágica.\n

Passo 4

Derivada de x^{2} pela definição (passo a passo):
\frac{d}{dx}x^{2}=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}.
Calcule o numerador:
(x+h)^{2}-x^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}=2xh+h^{2}.
Agora divida por h:
\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Fazendo o limite quando h\to 0:
\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
Logo \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x. Isso confirma a regra do poder para n=2.\n

Passo 5

Derivada de -2x. Primeiro, a derivada de x pela definição é
\frac{d}{dx}x=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.
Aplicando linearidade com a constante -2:
\frac{d}{dx}(-2x)=-2\cdot\frac{d}{dx}x=-2\cdot 1=-2.\n

Passo 6

Agora juntamos as partes usando a regra da soma:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}-2x\big)=\frac{d}{dx}x^{2}+\frac{d}{dx}(-2x)=2x+(-2)=2x-2.
Interpretando: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente a f em cada x; aqui a inclinação varia linearmente com x, sendo 2x-2.\n

Resposta

f'(x)=2x-2

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