Calcule as derivadas de cada função, a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular as derivadas dessa função.
Informações relevantes: a função está dada em termos da variável . O objetivo é achar a derivada de
em função de
, isto é,
(derivada em relação a
).\n
Informações relevantes: a função está dada em termos da variável
Passo 2
Vamos lembrar a definição de derivada (a base teórica). A derivada de uma função
em um ponto
é o limite
Aqui
é um incremento pequeno em
. Essa fórmula mede a taxa de variação instantânea de
em
. Em provas costuma ser mais rápido usar regras prontas (como regra do poder e linearidade), mas entender a definição ajuda a confiar nas regras.\n
Passo 3
As regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem do operador derivada. Em símbolos:
onde
é constante.
- Regra do poder (caso simples que usamos aqui): para
inteiro positivo,
Vou mostrar rapidamente por que
usando a definição, para você ver que a regra não é mágica.\n
Passo 4
Derivada de
pela definição (passo a passo):
Calcule o numerador:
Agora divida por
:
Fazendo o limite quando
:
Logo
. Isso confirma a regra do poder para
.\n
Passo 5
Derivada de
. Primeiro, a derivada de
pela definição é
Aplicando linearidade com a constante
:
Passo 6
Agora juntamos as partes usando a regra da soma:
Interpretando: a derivada
dá a inclinação da reta tangente a
em cada
; aqui a inclinação varia linearmente com
, sendo
.\n