Calcule as derivadas de cada uma das funções abaixo.
r) f(x)=(x^3+1x^2+3)(x^2-2 x^-1+1);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=underbracex^3+1x^2+3h(x);times;underbracel(x^2-2x^-1+1r)g(x)
O que vamos usar: a regra do produto
(fg)'=f',g+f,g',
a regra do quociente
l(tfracuvr)'=u',v-u,v'v^2,
e a regra da potência para derivar monômios.

Passo 2

Derivando g(x)=x^2-2x^-1+1 pelo poder, temos
g'(x)=2x-2cdot(-1)x^-2+0 =2x+2x^-2

Passo 3

Derivando h(x)=tfracx^3+1x^2+3 pela regra do quociente, com u=x^3+1, u'=3x^2, v=x^2+3, v'=2x, obtemos
h'(x) =3x^2(x^2+3)-(x^3+1),2x(x^2+3)^2 =3x^4+9x^2-2x^4-2x(x^2+3)^2 =x^4+9x^2-2x(x^2+3)^2

Passo 4

Aplicando a regra do produto f'=h',g+h,g', concluímos
f'(x) =x^4+9x^2-2x(x^2+3)^2l(x^2-2x^-1+1r) +x^3+1x^2+3l(2x+2x^-2r)

Resposta

f'(x) =x^4+9x^2-2x(x^2+3)^2,(x^2-2x^-1+1) +x^3+1x^2+3,(2x+2x^-2)

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