Determine as derivadas parciais de:
z=sen x y+e^x-y, onde x=rho sen theta e y=rho cos theta.

Passo 1

O enunciado dá a função
z = sin(xy) + e^,x - y
e a transformação de coordenadas
x = rho sintheta, y = rho costheta
O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para obter partial z/partialrho e partial z/partialtheta, usando as derivadas de z em relação a x,y e as derivadas de x,y em relação a rho,theta.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e a y. Como sin(xy) tem derivada cos(xy) vezes a derivada de xy, e e^,x-y se comporta normalmente, obtemos
partial zpartial x = cos(xy),partial (xy)partial x + partialpartial xe^,x-y = cos(xy),y + e^,x-y,
partial zpartial y = cos(xy),partial (xy)partial y + partialpartial ye^,x-y = cos(xy),x - e^,x-y

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a rho e theta:
partial xpartial rho = sintheta, partial ypartial rho = costheta,
partial xpartial theta = rhocostheta, partial ypartial theta = -rhosintheta

Passo 4

Pela regra da cadeia,
partial zpartial rho = partial zpartial x,partial xpartial rho + partial zpartial y,partial ypartial rho
Substituindo:
partial zpartial rho = l(cos(xy),y + e^,x-yr)sintheta + l(cos(xy),x - e^,x-yr)costheta
Agrupando,
partial zpartial rho = cos(xy),(ysintheta + xcostheta) + e^,x-y,(sintheta - costheta)

Passo 5

De modo análogo,
partial zpartial theta = partial zpartial x,partial xpartial theta + partial zpartial y,partial ypartial theta
Substituindo:
partial zpartial theta = l(cos(xy),y + e^,x-yr)rhocostheta + l(cos(xy),x - e^,x-yr)(-,rhosintheta)
Agrupando,
partial zpartial theta = rhol[cos(xy),(ycostheta - xsintheta) + e^,x-y,(costheta + sintheta)r]

Resposta

partial zpartial rho = cos(xy),l(ysintheta + xcosthetar) + e^,x-y,(sintheta - costheta),
partial zpartial theta = rhol[cos(xy),l(ycostheta - xsinthetar) + e^,x-y,(costheta + sintheta)r]

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