Calcule as derivadas de cada uma das funções:
f(x)=e^x sen x1+cotg x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^xsen x1+cotg x
Vamos usar as regras de derivação:
– derivada de e^x é e^x,
– derivada de sen x é cos x,
– derivada de cotg x é -csc^2x,
– regra do produto e regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^xsen x, v(x)=1+cotg x
Então
u'(x)=e^xsen x+e^xcos x=e^x(sen x+cos x), v'(x)=-csc^2x

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =e^x(sen x+cos x)(1+cotg x) -;e^xsen x,(-csc^2x) (1+cotg x)^2

Passo 4

Fatorando e^x e lembrando que sen xcdot(-csc^2x)=-1/sen x, o sinal menos vira mais:
f'(x) =e^xl[(sen x+cos x)(1+cotg x) +1sen xr](1+cotg x)^2

Passo 5

Usamos a identidade
1+cotg x=sen x+cos xsen x Longrightarrow (1+cotg x)^2=(sen x+cos x)^2sen^2x
E também
(sen x+cos x)(1+cotg x) =(sen x+cos x)^2sen x
Assim o numerador fica
(sen x+cos x)^2sen x+1sen x =(sen x+cos x)^2+1sen x,
e
f'(x) =e^x,(sen x+cos x)^2+1sen x (sen x+cos x)^2sen^2x =e^x,(sen x+cos x)^2+1sen xcdotsen^2x(sen x+cos x)^2

Passo 6

Simplificando sen^2x/sen x=sen x e usando
(sen x+cos x)^2+1 =sen^2x+cos^2x+2sen xcos x+1 =2+2sen xcos x =2l(1+sen xcos xr),
chegamos a
f'(x) =e^x,sen x 2l(1+sen xcos xr)(sen x+cos x)^2 =2e^xsen x1+sen xcos x(sen x+cos x)^2

Resposta

f'(x)=2e^x,sen x,1+sen xcos x(sen x+cos x)^2

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