Questão 4: (14 Pts)Considere a série:
ln 12+ln 23+ln 34+ln 45+ldots+ln nn+1+ldots
Encontre a sequência das somas parciais Sn e calcule a soma da série.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
ln12+ln23+ln34+cdots+lnnn+1+cdots
Precisamos obter a sequência de somas parciais
Sn=sumk=1^nlnkk+1
e então analisar o seu limite quando ntoinfty. O conteúdo-chave aqui é usar a propriedade dos logaritmos
lnab=ln a-ln b
e reconhecer o efeito telescópico na soma.

Passo 2

Para cada termo da soma parcial aplicamos a identidade de logaritmos:
lnkk+1=ln k-ln(k+1)

Passo 3

Agora somamos de k=1 até k=n:
Sn=sumk=1^nl(ln k-ln(k+1)r) =l(ln1-ln2r)+l(ln2-ln3r)+cdots+l(ln n-ln(n+1)r)
Quase tudo cancela (telescópico) e sobra
Sn=ln1-ln(n+1)=-ln(n+1)

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, calculamos
limntoinftySn =limntoinftyl(-ln(n+1)r)=-infty
Isso significa que a série não converge a um valor finito, mas diverge para -infty.

Resposta

Sn=-ln(n+1) e a série diverge, pois
sumk=1^inftylnkk+1 =limntoinftySn=-infty

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