Calcule as derivadas d xd t e d^2 xd t^2 das seguintes funções x(t) : ( 0,5 pontos cada)
d) x=e^4 t

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a primeira e a segunda derivada da função
.
Isso é conteúdo de Cálculo Diferencial: mais especificamente, derivada de função exponencial e uso da regra da cadeia.
Pra resolver, vamos precisar lembrar que
  1. A derivada de em relação a é (regra da cadeia).
  2. Depois, pra segunda derivada, é só derivar de novo aplicando a mesma ideia.

Passo 2

Vamos achar ddte^u(t) = e^u(t) cdot dudt .
  1. Identificamos dxdt = e^4t cdot 4 = 4e^4t , então .
  2. Pela regra da cadeia:
  1. Como , a derivada fica

Passo 3

Agora vamos pra d^2xdt^2 = ddtl(4e^4tr) = 4 cdot ddt(e^4t) .
  1. Temos d^2xdt^2 = 4 cdot (4e^4t) = 16e^4t .
  2. De novo, essa é uma exponencial, só que multiplicada por 4. A gente pode puxar o 4 pra fora:
  1. E a derivada de a gente já viu: é .
  2. Então

Resposta


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