Um projétil é disparado com um ângulo de elevação igual a theta, ao sopé de uma encosta com inclinação constante alpha(alpha. Mostrar que o alcance deste projétil, medido ao longo da encosta, é:
R=2 v0^2 cos theta sin (theta-alpha)g cos ^2 alpha

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um projétil sendo lançado com um certo ângulo de elevação, chamado theta, do pé de uma encosta que tem um ângulo de inclinação constante alpha. Nosso objetivo é descobrir até onde esse projétil vai atingir ao longo da encosta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetil e trigonometria, aplicando as fórmulas do movimento em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o movimento do projétil pode ser decomposto em duas direções: horizontal (x) e vertical (y). A velocidade inicial v0 pode ser dividida nessas duas direções usando as funções cosseno e seno:
v0x = v0 cos theta v0y = v0 sin theta

Passo 3

Sabemos que a posição do projétil em qualquer instante t é dada por:
x(t) = v0x t y(t) = v0y t - 12 g t^2
Onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 4

A encosta tem um ângulo alpha, então a equação da reta que representa a encosta é:
y = x tan alpha
Queremos encontrar o ponto onde o projétil atinge a encosta, ou seja, onde as trajetórias y(t) e y = x tan alpha se encontram.

Passo 5

Vamos igualar as duas equações de y:
v0y t - 12 g t^2 = v0x t tan alpha v0 sin theta , t - 12 g t^2 = v0 cos theta , t tan alpha

Passo 6

Podemos simplificar essa equação movendo tudo para um lado:
v0 sin theta , t - v0 cos theta , t tan alpha - 12 g t^2 = 0
Fatorando t:
t ( v0 sin theta - v0 cos theta tan alpha ) - 12 g t^2 = 0

Passo 7

Podemos dividir ambos os lados por t (considerando t neq 0):
v0 sin theta - v0 cos theta tan alpha - 12 g t = 0 Rightarrow 12 g t = v0 (sin theta - cos theta tan alpha)

Passo 8

Resolvendo para t:
t = 2 v0 (sin theta - cos theta tan alpha)g

Passo 9

Agora, queremos encontrar o alcance R ao longo da encosta. Isso é a distância percorrida na direção da encosta, que está inclinada em alpha. Podemos usar a relação:
R = x(t) cos alpha + y(t) sin alpha
Usando as expressões de x(t) e y(t):
R = v0x t cos alpha + ( v0y t - 12 g t^2 ) sin alpha

Passo 10

Substituindo v0x = v0 cos theta e v0y = v0 sin theta:
R = v0 cos theta cdot t cos alpha + ( v0 sin theta cdot t - 12 g t^2 ) sin alpha

Passo 11

Substituindo o valor de t que encontramos no Passo 8:
R = v0 cos theta cdot 2 v0 (sin theta - cos theta tan alpha)g cos alpha + ( v0 sin theta cdot 2 v0 (sin theta - cos theta tan alpha)g - 12 g ( 2 v0 (sin theta - cos theta tan alpha)g )^2 ) sin alpha

Passo 12

Após simplificar a expressão (passos de álgebra intermediários omitidos para brevidade), chegamos à fórmula desejada para o alcance R ao longo da encosta:
R = 2 v0^2 cos theta sin (theta - alpha)g cos^2 alpha

Resposta

O alcance do projétil ao longo da encosta é dado por:
R = 2 v0^2 cos theta sin (theta - alpha)g cos^2 alpha

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