Um projétil é disparado com um ângulo de elevação igual a
, ao sopé de uma encosta com inclinação constante
. Mostrar que o alcance deste projétil, medido ao longo da encosta, é:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um projétil sendo lançado com um certo ângulo de elevação, chamado
, do pé de uma encosta que tem um ângulo de inclinação constante
. Nosso objetivo é descobrir até onde esse projétil vai atingir ao longo da encosta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetil e trigonometria, aplicando as fórmulas do movimento em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o movimento do projétil pode ser decomposto em duas direções: horizontal (x) e vertical (y). A velocidade inicial
pode ser dividida nessas duas direções usando as funções cosseno e seno:
Passo 3
Sabemos que a posição do projétil em qualquer instante
é dada por:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
A encosta tem um ângulo
, então a equação da reta que representa a encosta é:
Queremos encontrar o ponto onde o projétil atinge a encosta, ou seja, onde as trajetórias
e
se encontram.
Passo 5
Vamos igualar as duas equações de
:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação movendo tudo para um lado:
Fatorando
:
Passo 7
Podemos dividir ambos os lados por
(considerando
):
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, queremos encontrar o alcance
ao longo da encosta. Isso é a distância percorrida na direção da encosta, que está inclinada em
. Podemos usar a relação:
Usando as expressões de
e
:
Passo 10
Substituindo
e
:
Passo 11
Substituindo o valor de
que encontramos no Passo 8:
Passo 12
Após simplificar a expressão (passos de álgebra intermediários omitidos para brevidade), chegamos à fórmula desejada para o alcance
ao longo da encosta:
Resposta
O alcance do projétil ao longo da encosta é dado por: