Calcule as derivadas direcionais D_{v} f(a) nos casos abaixo
f(x, y, z)=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}, a=(1,1,0), v=\vec{i}-\vec{j}+2 \vec{k}.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada direcional de
f(x,y,z)=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}
no ponto a=(1,1,0) na direção do vetor v=\mathbf{i}-\mathbf{j}+2\mathbf{k}.
O método consiste em (1) obter o gradiente de f, (2) avaliar esse gradiente em a e (3) fazer o produto escalar com o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Lembrando que
\nabla f(x,y,z)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr),
temos
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=4y,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=6z.
Logo,
\nabla f(x,y,z)=(2x,\,4y,\,6z).

Passo 3

Avaliar o gradiente em a=(1,1,0):
\nabla f(1,1,0)=(2\cdot1,\,4\cdot1,\,6\cdot0)=(2,\,4,\,0).

Passo 4

Obter o vetor unitário na direção de v=(1,-1,2). Primeiro o comprimento de v:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}.
Então o vetor unitário é
u=\frac{v}{\|v\|}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt6},\,-\tfrac{1}{\sqrt6},\,\tfrac{2}{\sqrt6}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
D_{v}f(a)=\nabla f(a)\cdot u =(2,4,0)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt6},-\tfrac{1}{\sqrt6},\tfrac{2}{\sqrt6}\Bigr) =\frac{2\cdot1+4\cdot(-1)+0\cdot2}{\sqrt6} =\frac{-2}{\sqrt6} =-\frac{\sqrt6}{3}.

Resposta

D_{v}f(a)=-\frac{\sqrt6}{3}.

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