Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funções abaixo
f(x, y)=e^{x} \cos y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor gradiente de
f(x,y)=e^{x}\cos y
isto é, encontrar \displaystyle \nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr).
Para isso vamos usar as regras de derivação de exponencial e de cosseno.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
Como y é tratado como constante, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\cos y.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
Aqui x é tratado como constante e usamos \frac{d}{dy}(\cos y)=-\sin y, logo
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x}\cos y\bigr) =e^{x}\,\frac{d}{dy}(\cos y) =-e^{x}\sin y.

Passo 4

Reunindo as duas componentes, o vetor gradiente é
\nabla f(x,y) =\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y\bigr),
e ele existe para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2, pois f é composta por funções infinitamente diferenciáveis.

Resposta

\nabla f(x,y)=\bigl(e^{x}\cos y,\,-e^{x}\sin y\bigr), \quad\text{para todo }(x,y)\in\mathbb{R}^2.

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