Calcule o vetor gradiente nos pontos que existe das funções abaixo
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+2 y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente da função
f(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr).
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais em duas variáveis usando a regra da cadeia. Observamos que f está definida e diferenciável sempre que x^{2}+2y^{2}>0, ou seja, em todos os pontos exceto (0,0).

Passo 2

Para calcular a derivada parcial em relação a x, definimos
u(x,y)=x^{2}+2y^{2},
então \partial u/\partial x=2x. Aplicando a regra da cadeia para \ln(u), obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{2x}{x^{2}+2y^{2}}.

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em relação a y, observamos que \partial u/\partial y=4y. Novamente pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{u}\,\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{4y}{x^{2}+2y^{2}}.

Passo 4

Reunindo as componentes das derivadas parciais, o vetor gradiente é
\nabla f(x,y) =\biggl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y}\biggr) =\biggl(\frac{2x}{x^{2}+2y^{2}},\,\frac{4y}{x^{2}+2y^{2}}\biggr).

Resposta

\nabla f(x,y) =\left(\frac{2x}{x^{2}+2y^{2}},\,\frac{4y}{x^{2}+2y^{2}}\right), \quad\text{para todos os }(x,y)\text{ tais que }x^{2}+2y^{2}>0.

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