Calcule as derivadas direcionais D_{v} f(a) nos casos abaixo
f(x, y, z)=(x / y)^{z},(1,1,1), v=(2,1,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{z},
o ponto a=(1,1,1) e o vetor v=(2,1,-1). Queremos a derivada direcional de f em a na direção de v, que pela definição
D_{v}f(a)=\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(a+t\,v\bigr)-f(a)}{t}
e, sob diferenciabilidade de f, coincide com o produto escalar
D_{v}f(a)=\nabla f(a)\cdot v.

Passo 2

Para encontrar \nabla f, reescrevemos
f(x,y,z)=e^{\,z\ln\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)}
e aplicamos a regra da cadeia a cada variável. O resultado é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z) = z\,\frac{1}{x}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{z},\quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z) = -\,z\,\frac{1}{y}\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{z},\quad \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = \ln\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)^{z}.

Passo 3

Avaliamo as derivadas parciais em a=(1,1,1). Como \bigl(\tfrac{1}{1}\bigr)^{1}=1 e \ln(1)=0, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1,1)=1, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1,1)=-1, \quad \frac{\partial f}{\partial z}(1,1,1)=0
portanto
\nabla f(1,1,1)=(1,\,-1,\,0).

Passo 4

Finalmente, usando D_{v}f(a)=\nabla f(a)\cdot v, temos
D_{v}f(1,1,1) = (1,\,-1,\,0)\cdot(2,\,1,\,-1) =1\cdot2 + (-1)\cdot1 + 0\cdot(-1) =1.

Resposta

1

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