Suponha que a Terra seja uma esfera sólida de densidade uniforme com massa
e raio
. Para uma partícula de massa
a uma distância
a partir do centro da Terra, a força gravitacional que atrai a partícula para o centro é
onde
é a constante gravitacional e
r é a massa de Terra dentro de uma esfera de raio
.
(a) Mostre que
.
(b) Suponha que um buraco seja perfurado na Terra ao longo de um diâmetro. Mostre que, se uma partícula de massa
cair a partir do repouso da superfície para dentro do buraco, então a distância
da partícula a partir do centro da Terra no instante
é dada por
onde
.
(c) Conclua, a partir da parte (b), que a partícula está submetida a um movimento harmônico simples. Encontre o período
.
(d) Com que velocidade a partícula passa pelo centro da Terra?
(a) Mostre que
(b) Suponha que um buraco seja perfurado na Terra ao longo de um diâmetro. Mostre que, se uma partícula de massa
(c) Conclua, a partir da parte (b), que a partícula está submetida a um movimento harmônico simples. Encontre o período
(d) Com que velocidade a partícula passa pelo centro da Terra?
Passo 1
O enunciado considera a Terra como uma esfera sólida de massa
e raio
com densidade uniforme. Para uma partícula de massa
a uma distância
do centro, sabe-se que a força gravitacional é
onde
é a massa contida numa esfera de raio
. Vamos usar densidade uniforme, a relação entre
e
, e a segunda lei de Newton
para obter a equação de movimento e o período de oscilação.
Passo 2
A densidade da Terra é
A massa interna até raio
é
Substituindo em
vem
Passo 3
Furando um túnel diametral, a partícula move-se ao longo de uma coordenada
medida do centro. Pela segunda lei de Newton,
Dividindo por
obtém-se
Definindo
segue também
.
Passo 4
A equação
é exatamente a do movimento harmônico simples, com pulsação
. O período é
Passo 5
A velocidade máxima ocorre ao passar pelo centro (
) e vale
Resposta
(a)
.
(b) com
.
(c) É movimento harmônico simples com
(b)
(c) É movimento harmônico simples com
(d) A velocidade ao passar pelo centro é