Suponha que a Terra seja uma esfera sólida de densidade uniforme com massa M e raio R=6370 km. Para uma partícula de massa m a uma distância r a partir do centro da Terra, a força gravitacional que atrai a partícula para o centro é
Fr=-G Mr mr^2
onde G é a constante gravitacional e M r é a massa de Terra dentro de uma esfera de raio r.
(a) Mostre que Fr=-G M mR^3 r.
(b) Suponha que um buraco seja perfurado na Terra ao longo de um diâmetro. Mostre que, se uma partícula de massa m cair a partir do repouso da superfície para dentro do buraco, então a distância y=y(t) da partícula a partir do centro da Terra no instante t é dada por
y^prime prime(t)=-k^2 y(t)
onde k^2=G M / R^3=g / R.
(c) Conclua, a partir da parte (b), que a partícula está submetida a um movimento harmônico simples. Encontre o período T.
(d) Com que velocidade a partícula passa pelo centro da Terra?

Passo 1

O enunciado considera a Terra como uma esfera sólida de massa M e raio R com densidade uniforme. Para uma partícula de massa m a uma distância r do centro, sabe-se que a força gravitacional é
Fr=-G,Mr,mr^2,
onde Mr é a massa contida numa esfera de raio r. Vamos usar densidade uniforme, a relação entre Mr e M, e a segunda lei de Newton m,y''=Fr para obter a equação de movimento e o período de oscilação.

Passo 2

A densidade da Terra é
rho = Mtfrac43pi R^3
A massa interna até raio r é
Mr=rho;43pi r^3 =;M,r^3R^3
Substituindo em Fr=-G,Mrm/r^2 vem
Fr =-G,mr^2;M,r^3R^3 =-G,M,mR^3;r

Passo 3

Furando um túnel diametral, a partícula move-se ao longo de uma coordenada y(t) medida do centro. Pela segunda lei de Newton,
m,y''(t)=Fr=-G,M,mR^3,y(t)
Dividindo por m obtém-se
y''(t)=-G,MR^3,y(t)
Definindo
k^2=G,MR^3 e observando que g=G,MR^2,
segue também k^2=g/R.

Passo 4

A equação
y''(t)+k^2,y(t)=0
é exatamente a do movimento harmônico simples, com pulsação k. O período é
T=2pik =2piraizR^3G,M =2piraizRg

Passo 5

A velocidade máxima ocorre ao passar pelo centro ( y=0) e vale
vmax =R,k =RraizG,MR^3 =raizG,MR =raizg,R

Resposta

(a) Fr=-dfracG,M,mR^3,r.
(b) y''(t)=-k^2,y(t) com k^2=GM/R^3=g/R.
(c) É movimento harmônico simples com
T=2piraizR^3GM =2piraizRg
(d) A velocidade ao passar pelo centro é
v=raizGMR=raizg,R

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