Calcule as derivadas direcionais na direção do vetor vecv e no ponto P, onde:
f(x, y)=x^2-y^3, v=lang<= 4,3rang<=, P(1,2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2-y^3,
o vetor de direção v=lang<= 4,3rang<= e o ponto P(1,2).
Pede-se a derivada direcional de f em P na direção de v.
O conteúdo necessário é a definição de derivada direcional via gradiente e a normalização do vetor de direção.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f e avaliamos em P.
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,partial fpartial yr) =(2x,,-3y^2)
Logo, em P(1,2):
nabla f(1,2)=(2cdot1,,-3cdot2^2)=(2,,-12)

Passo 3

Normalizamos o vetor v.
|v|=raiz4^2+3^2=5, u=v|v|=l(45,35r)

Passo 4

Aplicamos a definição de derivada direcional:
Duf(1,2)=nabla f(1,2)cdotu =(2,,-12)cdotl(45,35r) =2cdot4+(-12)cdot35 =8-365 =-285

Resposta

Dvec vf(1,2)=-285

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