Calcule as derivadas parciais a seguir:
partial Rpartial u, partial Rpartial v ; R(x, y)=(3 x+4 y)^5, x=u^2, y=u v

Passo 1

Beleza, a questão pede as derivadas parciais partial Rpartial u e partial Rpartial v de
R(x,y) = (3x + 4y)^5,
onde x = u^2 e y = u v. O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: vamos precisar de partial Rpartial x, partial Rpartial y e das derivadas de x e y em relação a u e v.

Passo 2

Como R(x,y)=(3x+4y)^5, derivamos em relação a x e a y:
partial Rpartial x =5,(3x+4y)^4,ddx(3x+4y) =5,(3x+4y)^4cdot 3 =15,(3x+4y)^4,
partial Rpartial y =5,(3x+4y)^4,ddy(3x+4y) =5,(3x+4y)^4cdot 4 =20,(3x+4y)^4

Passo 3

Para partial Rpartial u aplicamos a regra da cadeia:
partial Rpartial u =partial Rpartial x,partial xpartial u +partial Rpartial y,partial ypartial u
Como x=u^2 e y=uv, temos partial xpartial u=2u e partial ypartial u=v. Logo,
partial Rpartial u =15,(3x+4y)^4cdot 2u +20,(3x+4y)^4cdot v =(30u+20v),(3x+4y)^4

Passo 4

Para partial Rpartial v usamos o mesmo esquema:
partial Rpartial v =partial Rpartial x,partial xpartial v +partial Rpartial y,partial ypartial v
Aqui partial xpartial v=0 e partial ypartial v=u. Portanto,
partial Rpartial v =15,(3x+4y)^4cdot 0 +20,(3x+4y)^4cdot u =20,u,(3x+4y)^4

Passo 5

Agora substituímos x=u^2 e y=uv. Note que
3x+4y = 3u^2 + 4u,v
Logo os resultados finais em função de u,v ficam:

Resposta

partial Rpartial u =(30u+20v),l(3u^2+4u,vr)^4,
partial Rpartial v =20,u,l(3u^2+4u,vr)^4

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