Use o Teste da Razão ou da Raiz para determinar se a série converge ou diverge ou se o teste é inconclusivo, nos seguintes casos:
sumn=1^+infty(-1)^n+1 n^2n!

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Razão (ou da Raiz) à série
sumn=1^+infty(-1)^n+1n^2n!
para ver se ela converge, diverge ou se o teste é inconclusivo. Vamos olhar para os termos em módulo
,an=n^2n!, e usar o Teste da Razão.

Passo 2

Calculamos a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
an+1an = (n+1)^2(n+1)!n^2n! = (n+1)^2(n+1),n^2 = n+1n^2
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyn+1n^2 = limntoinftyl(1n+1n^2r) =0

Passo 3

Como
limntoinftyan+1an=0<1,
o Teste da Razão garante que sum an converge absolutamente. Se a série de módulos converge, a série original (alternada) também converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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