Calcule as derivadas direcionais pedidas.
f(x, y, z)=x^{2} y-3 y no ponto (-1,-6) e na direção do versor de v=(-1,-2)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y-3y, o ponto (-1,-6) e o vetor de direção v=(-1,-2).
A pergunta é: calcular a derivada direcional de f no ponto (-1,-6) na direção do versor (ou seja, do vetor unitário) associado a v.

Passo 2

O que é a derivada direcional? Vou te explicar de um jeito prático. Se queremos a taxa de variação de f no ponto P quando nos movemos numa certa direção u (versor), podemos definir a derivada direcional por duas formas equivalentes:
  • Definição por limite:
D_{u}f(P)=\lim_{t\to 0}\frac{f(P+t\,u)-f(P)}{t},
onde u é um vetor unitário.
  • Fórmula prática usando o gradiente (a que vamos usar porque é muito mais rápida na prova):
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Aqui \nabla f(P) é o vetor de derivadas parciais de f no ponto P, isto é, \nabla f(P)=\bigl(f_x(P),\,f_y(P)\bigr), e \cdot é o produto escalar. Explico cada coisa:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x: você deriva f supondo y constante.
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y: você deriva f supondo x constante.
  • u precisa ser unitário porque a fórmula dá a taxa por unidade de comprimento; se u não for unitário, primeiro normalizamos.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y-3y.
Derivando em relação a x (mantendo y constante):
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y-3y\bigr)=2x\;y.
Derivando em relação a y (mantendo x constante):
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y-3y\bigr)=x^{2}-3.
Expliquei: em f_x tratei y como constante, então a derivada de x^2y é 2x\cdot y; em f_y tratei x como constante, então a derivada de x^2y é x^2, e a de -3y é -3.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(-1,-6).
Para f_x:
f_x(-1,-6)=2\cdot(-1)\cdot(-6)=2\cdot 6=12.
Para f_y:
f_y(-1,-6)=(-1)^{2}-3=1-3=-2.
Portanto o gradiente em P é
\nabla f(-1,-6)=(12,\,-2).

Passo 5

Encontrar o versor (vetor unitário) na direção de v=(-1,-2).
Primeiro o comprimento (norma) de v:
\|v\|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Então o versor u é
u=\frac{v}{\|v\|}=\Bigl(\frac{-1}{\sqrt{5}},\,\frac{-2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional por produto escalar:
D_{u}f(-1,-6)=\nabla f(-1,-6)\cdot u.
Substituindo os valores:
D_{u}f(-1,-6)= (12,\,-2)\cdot\Bigl(\frac{-1}{\sqrt{5}},\,\frac{-2}{\sqrt{5}}\Bigr) =12\cdot\frac{-1}{\sqrt{5}}+(-2)\cdot\frac{-2}{\sqrt{5}}.
Calculemos passo a passo:
12\cdot\frac{-1}{\sqrt{5}}=\frac{-12}{\sqrt{5}},\qquad (-2)\cdot\frac{-2}{\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.
Somando:
D_{u}f(-1,-6)=\frac{-12+4}{\sqrt{5}}=\frac{-8}{\sqrt{5}}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, movendo-se nessa direção unitária, a função diminui (taxa negativa).

Passo 7

Resumo rápido do procedimento para a prova (cola mental): 1) calcule f_x e f_y; 2) avalie no ponto; 3) normalize o vetor direção; 4) faça produto escalar \nabla f(P)\cdot u. É rápido e seguro.

Resposta

-\dfrac{8}{\sqrt{5}}

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