Calcule as derivadas direcionais pedidas.
no ponto
e na direção do versor de
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
.
A pergunta é: calcular a derivada direcional de no ponto
na direção do versor (ou seja, do vetor unitário) associado a
.
A pergunta é: calcular a derivada direcional de
Passo 2
O que é a derivada direcional? Vou te explicar de um jeito prático. Se queremos a taxa de variação de
no ponto
quando nos movemos numa certa direção
(versor), podemos definir a derivada direcional por duas formas equivalentes:
- Definição por limite:
onde
é um vetor unitário.
- Fórmula prática usando o gradiente (a que vamos usar porque é muito mais rápida na prova):
Aqui
é o vetor de derivadas parciais de
no ponto
, isto é,
, e
é o produto escalar. Explico cada coisa:
-
é a derivada parcial de em relação a : você deriva supondo constante. -
é a derivada parcial de em relação a : você deriva supondo constante. -
precisa ser unitário porque a fórmula dá a taxa por unidade de comprimento; se não for unitário, primeiro normalizamos.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
Derivando em relação a
(mantendo
constante):
Expliquei: em
tratei
como constante, então a derivada de
é
; em
tratei
como constante, então a derivada de
é
, e a de
é
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.
Para
:
Para
:
Portanto o gradiente em
é
Passo 5
Encontrar o versor (vetor unitário) na direção de
.
Primeiro o comprimento (norma) de
:
Então o versor
é
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da derivada direcional por produto escalar:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Somando:
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que, movendo-se nessa direção unitária, a função diminui (taxa negativa).
Passo 7
Resumo rápido do procedimento para a prova (cola mental): 1) calcule
e
; 2) avalie no ponto; 3) normalize o vetor direção; 4) faça produto escalar
. É rápido e seguro.