Calcule as derivadas direcionais pedidas.
f(x, y)=x y e^{-x} no ponto (0,4) e na direção de \theta=\frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x y e^{-x}, o ponto (0,4) e a direção com ângulo \theta=\dfrac{2\pi}{3}.
A pergunta é: calcule a derivada direcional de f no ponto (0,4) na direção indicada por \theta=\dfrac{2\pi}{3}.
Informações relevantes fornecidas:
f(x,y)=x y e^{-x},\qquad (x_0,y_0)=(0,4),\qquad \theta=\frac{2\pi}{3}.

Passo 2

O que é a derivada direcional? Vou te dar a definição clássica (ela explica o sentido da operação): seja \mathbf{u} um vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f\big((x_0,y_0)+h\mathbf{u}\big)-f(x_0,y_0)}{h}.
Aqui h é um escalar que aproxima zero, e a derivada direcional mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de (x_0,y_0) na direção \mathbf{u}. É obrigatório que \mathbf{u} seja unitário para essa definição padrão.

Passo 3

Existe uma forma prática (e muito usada em provas) de calcular essa derivada quando f é diferenciável: usar o gradiente. A fórmula é
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f=(f_x,f_y) é o vetor de derivadas parciais e \cdot é o produto escalar. Isso é equivalente à definição limite quando f é diferenciável (o que vale para funções do tipo produto e exponencial como a nossa). Vou usar essa fórmula porque é direta e rápida numa prova.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x y e^{-x}. Vou explicar passo a passo.
Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto entre x y e e^{-x}.
Primeiro termo: derivada de x y em relação a x é y, então contribui y e^{-x}.
Segundo termo: mantemos x y e derivamos e^{-x}. A derivada de e^{-x} em relação a x é -e^{-x} (pela regra da cadeia: derivada de -x é -1). Assim a contribuição é -x y e^{-x}.
Somando as contribuições:
f_x(x,y)=y e^{-x}-x y e^{-x}=y e^{-x}(1-x).
Derivada parcial em relação a y: tratamos x como constante, então
f_y(x,y)=x e^{-x}.
(Espaço rápido de ver: f é linear em y com coeficiente x e^{-x}.)

Passo 5

Avalie as derivadas parciais no ponto (0,4). Primeiro calcule e^{-0}=1.
f_x(0,4)=4\cdot e^{0}\cdot(1-0)=4\cdot 1\cdot 1=4.
f_y(0,4)=0\cdot e^{0}=0.
Logo o gradiente no ponto é
\displaystyle \nabla f(0,4)=(4,0).

Passo 6

Precisamos do vetor unitário que representa a direção \theta=\dfrac{2\pi}{3}. O vetor de direção associado ao ângulo \theta é
\mathbf{u}=(\cos\theta,\sin\theta).
Para \theta=\dfrac{2\pi}{3} sabemos os valores trigonométricos:
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Esse \mathbf{u}=(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}) já é unitário (os valores de \cos e \sin formam vetor de comprimento 1).

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula com o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(0,4)=\nabla f(0,4)\cdot \mathbf{u}=(4,0)\cdot\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Computei o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(0,4)=4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=-2+0=-2.

Passo 8

Interpretação rápida e encorajamento: o valor -2 significa que, ao nos movermos a partir de (0,4) na direção com ângulo \dfrac{2\pi}{3}, a função f diminui inicialmente com taxa 2 (sinal negativo indica queda). Você fez direitinho seguindo gradiente e trigonometria — dá pra resolver isso bem rápido na prova.

Resposta

-2

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