Calcule as derivadas direcionais pedidas.
no ponto
e na direção de
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e a direção com ângulo
.
A pergunta é: calcule a derivada direcional de no ponto
na direção indicada por
.
Informações relevantes fornecidas:
A pergunta é: calcule a derivada direcional de
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que é a derivada direcional? Vou te dar a definição clássica (ela explica o sentido da operação): seja
um vetor unitário (ou seja, de comprimento 1). A derivada direcional de
no ponto
na direção
é
Aqui
é um escalar que aproxima zero, e a derivada direcional mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
na direção
. É obrigatório que
seja unitário para essa definição padrão.
Passo 3
Existe uma forma prática (e muito usada em provas) de calcular essa derivada quando
é diferenciável: usar o gradiente. A fórmula é
onde
é o vetor de derivadas parciais e
é o produto escalar. Isso é equivalente à definição limite quando
é diferenciável (o que vale para funções do tipo produto e exponencial como a nossa). Vou usar essa fórmula porque é direta e rápida numa prova.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais de
. Vou explicar passo a passo.
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante e aplicamos a regra do produto entre
e
.
Primeiro termo: derivada de em relação a
é
, então contribui
.
Segundo termo: mantemos e derivamos
. A derivada de
em relação a
é
(pela regra da cadeia: derivada de
é
). Assim a contribuição é
.
Somando as contribuições:
Primeiro termo: derivada de
Segundo termo: mantemos
Somando as contribuições:
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante, então
(Espaço rápido de ver:
é linear em
com coeficiente
.)
Passo 5
Avalie as derivadas parciais no ponto
. Primeiro calcule
.
Logo o gradiente no ponto é
Passo 6
Precisamos do vetor unitário que representa a direção
. O vetor de direção associado ao ângulo
é
Para
sabemos os valores trigonométricos:
Esse
já é unitário (os valores de
e
formam vetor de comprimento 1).
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula com o produto escalar:
Computei o produto escalar componente a componente:
Passo 8
Interpretação rápida e encorajamento: o valor
significa que, ao nos movermos a partir de
na direção com ângulo
, a função
diminui inicialmente com taxa
(sinal negativo indica queda). Você fez direitinho seguindo gradiente e trigonometria — dá pra resolver isso bem rápido na prova.