Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=25-x^{2}-5 y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar graficamente a função e dar o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x,y). A função dada é
f(x,y)=25-x^{2}-5y.
Informações relevantes que temos imediatamente:
  • A função está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
  • Precisamos desenhar o gráfico da superfície z=25-x^{2}-5y no espaço e, na projeção no plano xy, desenhar as curvas de nível (contornos) de z para quatro valores que escolheremos para ilustrar bem o mapa de curvas de nível.

Passo 2

Vamos entender a forma da superfície antes de desenhar. Vou explicar passo a passo como identificar o tipo de superfície e suas características, sem pular etapas.
  1. Observe a fórmula: \;z=25-x^{2}-5y.\n
    • O termo -x^{2} é quadrático em x (parabólico em direção x).\n
    • O termo -5y é linear em y (variação constante com y).\n
  2. Cortes por planos y=\text{constante}.\n
    • Se fixarmos y=y_{0} constante, obtemos
    z = 25 - x^{2} - 5y_{0} = (25-5y_{0}) - x^{2}.
    • Para cada y_{0}, essa é uma parábola em x (abrindo para baixo), com vértice em x=0 e valor de vértice z=25-5y_{0}.\n
    • Conclusão: em planos paralelos ao plano xz (ou seja, y= constante) vemos parábolas idênticas em forma, apenas deslocadas verticalmente em z.
  3. Cortes por planos x=\text{constante}.\n
    • Se fixarmos x=x_{0}, obtemos
    z = 25 - x_{0}^{2} - 5y,
    que é uma função linear de y: uma reta no plano yz com coeficiente angular -5.\n
    • Conclusão: ao deslocar y mantendo x fixo, a superfície varia linearmente (é uma reta ao longo da direção do y projetada no plano yz).\n
  4. Classificação final (intuitiva): a superfície é uma “parabolic cylinder” (cilindro parabólico) no sentido de que tem curvatura parabólica numa direção ( x) e é linear na outra ( y). Geometricamente, pode-se obter pegando a parábola base z=25-x^{2} no plano y=0 e arrastando-a ao longo da direção do eixo y com inclinação de z em relação a y igual a -5. Em outras palavras, as geratrizes são retas paralelas com direção (0,1,-5).\n
  5. Sobre máximos e mínimos: o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(-2x,\,-5\bigr).
Não existe ponto crítico (não há solução de \nabla f=0 porque a segunda componente é sempre -5), logo não há máximo ou mínimo isolado no plano inteiro; a função tende a +\infty quando y\to -\infty e a -\infty quando y\to +\infty.

Passo 3

Agora vamos obter explicitamente as curvas de nível (a parte mais útil para desenhar o mapa de contornos). Para um valor fixo de z (vou chamar esse valor de c), a curva de nível é o conjunto de (x,y) tais que f(x,y)=c. Assim:
c = 25 - x^{2} - 5y.
Isolando y obtemos a equação da curva de nível:
y = \frac{25 - c}{5} - \frac{x^{2}}{5}.
Interpretação dessa fórmula:
  • É uma família de parábolas no plano xy da forma
y = A - \frac{1}{5}x^{2},
onde A=\dfrac{25-c}{5} depende do nível c.\n
  • Cada parábola tem eixo vertical x=0 e vértice em \bigl(0,\,A\bigr).\n
  • Todas têm o mesmo “abertura” porque o coeficiente de x^{2} é sempre -\tfrac{1}{5}; ou seja, são congruentes, apenas deslocadas para cima/baixo conforme c.

Passo 4

Escolho quatro valores de z para desenhar o mapa de curvas de nível de forma clara e espaçada. Vou usar
z=25,\quad z=15,\quad z=5,\quad z=-5,
porque eles dão vértices de parábolas com posições simples e igualmente espaçadas em y. Agora calculemos cada curva explicitamente.
  1. Para z=25:
y=\frac{25-25}{5}-\frac{x^{2}}{5}=0-\frac{x^{2}}{5}=-\frac{x^{2}}{5}.
Vértice: (0,0). Exemplos de pontos: x=\pm 5\Rightarrow y=-5, x=\pm 10\Rightarrow y=-20.
  1. Para z=15:
y=\frac{25-15}{5}-\frac{x^{2}}{5}=\frac{10}{5}-\frac{x^{2}}{5}=2-\frac{x^{2}}{5}.
Vértice: (0,2). Exemplos: x=\pm 5\Rightarrow y=2-5=-3.
  1. Para z=5:
y=\frac{25-5}{5}-\frac{x^{2}}{5}=\frac{20}{5}-\frac{x^{2}}{5}=4-\frac{x^{2}}{5}.
Vértice: (0,4). Exemplos: x=\pm 5\Rightarrow y=4-5=-1.
  1. Para z=-5:
y=\frac{25-(-5)}{5}-\frac{x^{2}}{5}=\frac{30}{5}-\frac{x^{2}}{5}=6-\frac{x^{2}}{5}.
Vértice: (0,6). Exemplos: x=\pm 5\Rightarrow y=6-5=1.

Passo 5

Como desenhar à mão o mapa de curvas de nível (instruções práticas e intuitivas, do jeitinho que você precisa para a prova):
  1. Trace eixos x e y no plano. Marque pontos y=0,2,4,6 no eixo y (esses são os vértices das quatro parábolas que calculamos).\n
  2. Para cada vértice (0,A) desenhe a parábola simétrica em relação a x=0 com fórmula y=A-\tfrac{1}{5}x^{2}. Como a abertura é -\tfrac{1}{5}, a parábola é relativamente “larga”. Um bom guia prático: use pontos x=0,\pm 5,\pm 10 para posicionar alguns pontos (já calculei acima para cada curva).\n
  3. Coloque uma etiqueta em cada curva com o valor de z correspondente (por exemplo, curve with vertex at y=0 é a curva de z=25, vertex at y=2 é z=15, etc.).\n
  4. Observação visual: conforme z diminui (valores menores), o vértice A=(25-c)/5 aumenta — isto é, curvas de nível com z menor estão deslocadas para cima no eixo y. Isso acontece porque reduzir z requer y maior para compensar o termo -5y.\n
Dica rápida para o esboço no espaço 3D: desenhe a parábola z=25-x^{2} no plano y=0 (vértice em (0,0,25)), depois imagine que, ao aumentar y, a superfície desce com inclinação -5 por unidade de y (isto é, mover-se em +\hat{y} reduz z em 5 unidades). Assim você visualiza a “folha” parabólica inclinada ao longo do eixo y.

Resposta

Gráfico: superfície z=25-x^{2}-5y é um cilindro parabólico obtido ao deslocar a parábola z=25-x^{2} ao longo de y com inclinação -5.\n
Curvas de nível escolhidas:
z=25:\;y=-\dfrac{x^{2}}{5}.\n
z=15:\;y=2-\dfrac{x^{2}}{5}.\n
z=5:\;y=4-\dfrac{x^{2}}{5}.\n
z=-5:\;y=6-\dfrac{x^{2}}{5}.

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