Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: representar graficamente a função e dar o mapa de curvas de nível para quatro valores de
. A função dada é
Informações relevantes que temos imediatamente:
- A função está definida para todos os pares
. - Precisamos desenhar o gráfico da superfície
no espaço e, na projeção no plano , desenhar as curvas de nível (contornos) de para quatro valores que escolheremos para ilustrar bem o mapa de curvas de nível.
Passo 2
Vamos entender a forma da superfície antes de desenhar. Vou explicar passo a passo como identificar o tipo de superfície e suas características, sem pular etapas.
-
Observe a fórmula:
.\n - O termo
é quadrático em (parabólico em direção ).\n - O termo
é linear em (variação constante com ).\n
- O termo
-
Cortes por planos
.\n - Se fixarmos
constante, obtemos
- Para cada
, essa é uma parábola em (abrindo para baixo), com vértice em e valor de vértice .\n - Conclusão: em planos paralelos ao plano
(ou seja, constante) vemos parábolas idênticas em forma, apenas deslocadas verticalmente em .
- Se fixarmos
-
Cortes por planos
.\n - Se fixarmos
, obtemos
que é uma função linear de: uma reta no plano com coeficiente angular .\n - Conclusão: ao deslocar
mantendo fixo, a superfície varia linearmente (é uma reta ao longo da direção do projetada no plano ).\n
- Se fixarmos
-
Classificação final (intuitiva): a superfície é uma “parabolic cylinder” (cilindro parabólico) no sentido de que tem curvatura parabólica numa direção (
) e é linear na outra ( ). Geometricamente, pode-se obter pegando a parábola base no plano e arrastando-a ao longo da direção do eixo com inclinação de em relação a igual a . Em outras palavras, as geratrizes são retas paralelas com direção .\n -
Sobre máximos e mínimos: o gradiente é
Não existe ponto crítico (não há solução de
porque a segunda componente é sempre
), logo não há máximo ou mínimo isolado no plano inteiro; a função tende a
quando
e a
quando
.
Passo 3
Agora vamos obter explicitamente as curvas de nível (a parte mais útil para desenhar o mapa de contornos). Para um valor fixo de
(vou chamar esse valor de
), a curva de nível é o conjunto de
tais que
. Assim:
Isolando
obtemos a equação da curva de nível:
Interpretação dessa fórmula:
- É uma família de parábolas no plano
da forma
onde
depende do nível
.\n
- Cada parábola tem eixo vertical
e vértice em .\n - Todas têm o mesmo “abertura” porque o coeficiente de
é sempre ; ou seja, são congruentes, apenas deslocadas para cima/baixo conforme .
Passo 4
Escolho quatro valores de
para desenhar o mapa de curvas de nível de forma clara e espaçada. Vou usar
porque eles dão vértices de parábolas com posições simples e igualmente espaçadas em
. Agora calculemos cada curva explicitamente.
- Para
:
Vértice:
. Exemplos de pontos:
,
.
- Para
:
Vértice:
. Exemplos:
.
- Para
:
Vértice:
. Exemplos:
.
- Para
:
Vértice:
. Exemplos:
.
Passo 5
Como desenhar à mão o mapa de curvas de nível (instruções práticas e intuitivas, do jeitinho que você precisa para a prova):
- Trace eixos
e no plano. Marque pontos no eixo (esses são os vértices das quatro parábolas que calculamos).\n - Para cada vértice
desenhe a parábola simétrica em relação a com fórmula . Como a abertura é , a parábola é relativamente “larga”. Um bom guia prático: use pontos para posicionar alguns pontos (já calculei acima para cada curva).\n - Coloque uma etiqueta em cada curva com o valor de
correspondente (por exemplo, curve with vertex at é a curva de , vertex at é , etc.).\n - Observação visual: conforme
diminui (valores menores), o vértice aumenta — isto é, curvas de nível com menor estão deslocadas para cima no eixo . Isso acontece porque reduzir requer maior para compensar o termo .\n
Dica rápida para o esboço no espaço 3D: desenhe a parábola
no plano
(vértice em
), depois imagine que, ao aumentar
, a superfície desce com inclinação
por unidade de
(isto é, mover-se em
reduz
em
unidades). Assim você visualiza a “folha” parabólica inclinada ao longo do eixo
.
Resposta
Gráfico: superfície
é um cilindro parabólico obtido ao deslocar a parábola
ao longo de
com inclinação
.\n
Curvas de nível escolhidas:
\n
\n
\n
Curvas de nível escolhidas: