Informações relevantes fornecidas: a expressão racional para (x,y)\neq(0,0) e o valor atribuído em (0,0) igual a 2. Nada mais é dado.]
Passo 2
O que significa ser contínua na origem (breve revisão): dizer que f é contínua em (0,0) equivale a dizer que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e é igual ao valor f(0,0). Em símbolos:
f\text{ é contínua em }(0,0)\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=2.éí
Nossa tarefa é calcular (ou estimar) esse limite e comparar com 2.
Passo 3
Estratégia para o limite: usar uma desigualdade que controle \left|\dfrac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}\right| em função da distância radial r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Observação útil: para qualquer (x,y), temos |x|\le r e |y|\le r.
Agora aplico isso ao valor absoluto da função (para (x,y)\neq(0,0)):
Como f(0,0)=2 (dado no enunciado) e o limite é 0\neq 2, concluímos que f NÃO é contínua na origem.
Passo 5
Agora vamos calcular as derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) para obter o gradiente nos pontos pedidos. Lembrete didático: a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) é a derivada ordinária da função de x resultante; analogamente para y. Como a expressão é razão de duas funções suaves (fora da origem), podemos usar a regra do quociente.