Questão 3. Dada f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 2 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é continua na origem? b) Calcule \nabla f(1,1) e \nabla f(3,1).

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 2, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
  1. A função é contínua na origem (0,0)?\n
  2. Calcular \nabla f(1,1) e \nabla f(3,1).
Informações relevantes fornecidas: a expressão racional para (x,y)\neq(0,0) e o valor atribuído em (0,0) igual a 2. Nada mais é dado.]

Passo 2

O que significa ser contínua na origem (breve revisão): dizer que f é contínua em (0,0) equivale a dizer que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e é igual ao valor f(0,0). Em símbolos:
f\text{ é contínua em }(0,0)\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=2.éí
Nossa tarefa é calcular (ou estimar) esse limite e comparar com 2.

Passo 3

Estratégia para o limite: usar uma desigualdade que controle \left|\dfrac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}\right| em função da distância radial r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Observação útil: para qualquer (x,y), temos |x|\le r e |y|\le r.
Agora aplico isso ao valor absoluto da função (para (x,y)\neq(0,0)):
\left|\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{|x|^{3}|y|}{x^{2}+y^{2}}.
Usando |x|\le r e |y|\le r e x^{2}+y^{2}=r^{2},
\frac{|x|^{3}|y|}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{r^{3}\cdot r}{r^{2}}=\frac{r^{4}}{r^{2}}=r^{2}.
Portanto, para todo (x,y)\neq(0,0) próximo da origem,
\left|\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le r^{2}=\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Conclusão sobre o limite usando a desigualdade: como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), temos r^{2}\to 0. Pela desigualdade do Passo 3,
\left|\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le r^{2}\longrightarrow 0,
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\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}=0.
Como f(0,0)=2 (dado no enunciado) e o limite é 0\neq 2, concluímos que f NÃO é contínua na origem.

Passo 5

Agora vamos calcular as derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) para obter o gradiente nos pontos pedidos. Lembrete didático: a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo) é a derivada ordinária da função de x resultante; analogamente para y. Como a expressão é razão de duas funções suaves (fora da origem), podemos usar a regra do quociente.
Definimos o numerador e denominador
N(x,y)=x^{3}y,\qquad D(x,y)=x^{2}+y^{2},
de modo que f=\dfrac{N}{D}.
Calcule as derivadas parciais de N e D:
N_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y)=3x^{2}y,\qquad D_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,
N_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}y)=x^{3},\qquad D_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.

Passo 6

Aplicando a regra do quociente para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_{x}D-ND_{x}}{D^{2}} =\frac{(3x^{2}y)(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
(3x^{2}y)(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y)(2x) =3x^{4}y+3x^{2}y^{3}-2x^{4}y =(x^{4}y)+3x^{2}y^{3}.
Colocando em evidência x^{2}y:
x^{4}y+3x^{2}y^{3}=x^{2}y\,(x^{2}+3y^{2}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x^{2}y\,(x^{2}+3y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 7

Agora a derivada parcial em relação a y usando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{N_{y}D-ND_{y}}{D^{2}} =\frac{x^{3}(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
x^{3}(x^{2}+y^{2})-2x^{3}y^{2}=x^{5}+x^{3}y^{2}-2x^{3}y^{2}=x^{5}-x^{3}y^{2}=x^{3}(x^{2}-y^{2}).
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{3}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 8

Agora avalio as fórmulas nos pontos pedidos. Lembre que o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\Bigr).
Para (1,1): primeiro calcule x^{2}+y^{2}=1+1=2 e (x^{2}+y^{2})^{2}=4.
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac{1^{2}\cdot 1\,(1^{2}+3\cdot 1^{2})}{4}=\frac{1\cdot(1+3)}{4}=\frac{4}{4}=1.
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=\frac{1^{3}(1^{2}-1^{2})}{4}=\frac{1\cdot 0}{4}=0.
Portanto \nabla f(1,1)=(1,0).

Passo 9

Para (3,1): calcule x^{2}+y^{2}=9+1=10 e (x^{2}+y^{2})^{2}=100.
\frac{\partial f}{\partial x}(3,1)=\frac{3^{2}\cdot 1\,(3^{2}+3\cdot 1^{2})}{100} =\frac{9\cdot(9+3)}{100}=\frac{9\cdot 12}{100}=\frac{108}{100}=\frac{27}{25}.
\frac{\partial f}{\partial y}(3,1)=\frac{3^{3}(3^{2}-1^{2})}{100} =\frac{27\cdot(9-1)}{100}=\frac{27\cdot 8}{100}=\frac{216}{100}=\frac{54}{25}.
Portanto \nabla f(3,1)=\bigl(\tfrac{27}{25},\,\tfrac{54}{25}\bigr).

Resposta

Não; \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0\neq f(0,0)=2.
\nabla f(1,1)=\bigl(1,\,0\bigr)
\nabla f(3,1)=\bigl(\tfrac{27}{25},\,\tfrac{54}{25}\bigr)

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