Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto P nas direções dadas pelo vetor tildev :
f(x, y)=cos (x+y) ; P=(pi, 0), tildev=lang<= 2,1rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função f(x,y)=cos(x+y) no ponto P=(pi,0) na direção do vetor tildev=lang<=2,1rang<=. O conteúdo aqui é derivada direcional e vamos precisar do gradiente de f e do vetor unitário na direção de tildev.

Passo 2

Para achar a derivada direcional, lembramos que Duf(P)=nabla f(P)cdotu. Primeiro calculamos o gradiente: nabla f(x,y)=(partial f/partial x,partial f/partial y). Como f(x,y)=cos(x+y), temos partial f/partial x=-sin(x+y) e partial f/partial y=-sin(x+y).
Agora avaliamos o gradiente em P=(pi,0). Como x+y=pi+0=pi e sin(pi)=0, fica nabla f(pi,0)=(-0,-0)=(0,0).

Passo 3

Em seguida, construímos o vetor unitário u=tildev/|tildev|. Calculando a norma: |tildev|=raiz2^2+1^2=raiz5. Logo u=lang<=2/raiz5,,1/raiz5rang<=.

Passo 4

Por fim, a derivada direcional é Duf(P)=nabla f(P)cdotu=(0,0)cdotlang<=2/raiz5,1/raiz5rang<==0.

Resposta

0

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