Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto P nas direções dadas pelo vetor tildev :
f(x, y, z)=x y z ; P=(1,0,1), tildev=lang<=cos alpha sin beta, sin alpha sin beta, cos betarang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y,z)=xyz no ponto P=(1,0,1) na direção do vetor unitário tilde v=lang<=cosalphasinbeta,sinalphasinbeta,cosbetarang<=. O conteúdo é derivada direcional em R^3, e vamos usar a definição via gradiente.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que tilde v é unitário. Calculamos o módulo:
|tilde v|^2=(cosalphasinbeta)^2+(sinalphasinbeta)^2+(cosbeta)^2=sin^2beta(cos^2alpha+sin^2alpha)+cos^2beta=1
Logo |tilde v|=1, então não há necessidade de normalizar.

Passo 3

Agora, determinamos o gradiente de f:
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr)=(yz,;xz,;xy)
Avaliando em P=(1,0,1) temos
nabla f(P)=(0cdot1,;1cdot1,;1cdot0)=(0,1,0)

Passo 4

Por fim, usamos a definição da derivada direcional:
Dtilde vf(P)=nabla f(P)cdottilde v=(0,1,0)cdot(cosalphasinbeta,sinalphasinbeta,cosbeta)=sinalphasinbeta

Resposta

sinalphasinbeta

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