Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto P nas direções dadas pelo vetor tildev :
f(x, y, z)=x y+2 x z-3 y z ; P=(0,0,2), tildev=lang<= 1,1,1rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f em P na direção de tildev. O conteúdo principal é derivada direcional, que usa o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f, montar o gradiente, normalizar tildev e fazer o produto escalar.

Passo 2

Para encontrar o gradiente nabla f(x,y,z), computamos as derivadas parciais de f(x,y,z)=xy+2xz−3yz:
fx = partialpartial x(xy+2xz-3yz)=y+2z, fy = partialpartial y(xy+2xz-3yz)=x-3z, fz = partialpartial z(xy+2xz-3yz)=2x-3y

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em P=(0,0,2):
nabla f(0,0,2)=l(fx(0,0,2),fy(0,0,2),fz(0,0,2)r)=(0+2cdot2,;0-3cdot2,;2cdot0-3cdot0)=(4,-6,0)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário u na direção de tildev=lang<=1,1,1rang<=. Primeiro o módulo:
|tildev|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
Então
u=1raiz3lang<=1,1,1rang<=

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar entre nabla f(P) e u:
Dtildevf(P)=nabla f(0,0,2)cdotu=l(4,-6,0r)cdot1raiz3(1,1,1)=4-6+0raiz3=-2raiz3

Resposta

-\frac{2}{\sqrt{3}}

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