Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto
nas direções dadas pelo vetor
:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de f em P na direção de
. O conteúdo principal é derivada direcional, que usa o gradiente de f e o vetor unitário na direção dada. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de f, montar o gradiente, normalizar
e fazer o produto escalar.
Passo 2
Para encontrar o gradiente
, computamos as derivadas parciais de f(x,y,z)=xy+2xz−3yz:
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em P=(0,0,2):
Passo 4
Precisamos do vetor unitário
na direção de
. Primeiro o módulo:
Então
Passo 5
A derivada direcional é o produto escalar entre
e
:
Resposta
-\frac{2}{\sqrt{3}}