Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções no ponto P nas direções dadas pelo vetor tildev :
f(x, y)=x^2+y^2 ; P=(1,1), tildev=lang<= 1,1rang<=.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y^2 no ponto P=(1,1) na direção do vetor tilde v=lang<=1,1rang<=. O conteúdo envolvido é derivada direcional, para a qual vamos precisar do gradiente de f e da definição de derivada direcional em termos do produto escalar com o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Para obter o gradiente de f, lembramos que nabla f(x,y)=(partial f/partial x,,partial f/partial y). Portanto,
nabla f(x,y)=(2x,,2y)

Passo 3

Avaliando no ponto P=(1,1) obtemos
nabla f(1,1)=(2cdot1,,2cdot1)=(2,2)

Passo 4

Agora precisamos do vetor unitário na direção de tilde v=lang<=1,1rang<=. Primeiro o seu comprimento:
|tilde v|=raiz1^2+1^2=raiz2

Passo 5

Logo o vetor unitário é
u=1raiz2lang<=1,1rang<==llang<=tfrac1raiz2,tfrac1raiz2rrang<=

Passo 6

Por fim, aplicamos a definição de derivada direcional: D uf(P)=nabla f(P)cdot u. Assim,
D uf(1,1)=(2,2)cdotllang<=tfrac1raiz2,tfrac1raiz2rrang<==2cdottfrac1raiz2+2cdottfrac1raiz2=4raiz2=2raiz2

Resposta

2\sqrt{2}

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