Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções, nos pontos indicados, nas direções dadas.
f(x, y, z)=e^x+y z, p=(1,1,1), v=1raiz3(1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função
f(x,y,z)=e^x+yz
no ponto p=(1,1,1) na direção do vetor unitário
v=1raiz3,(1,-1,1)
Para isso, precisamos usar o fato de que a derivada direcional de f em p na direção v é
Dvf(p)=nabla f(p)cdot v,
ou seja, calcular o gradiente de f em p e fazer o produto escalar com v.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=e^x, partial fpartial y=z, partial fpartial z=y
Essas são as componentes do gradiente nabla f(x,y,z).

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas parciais no ponto p=(1,1,1):
nabla f(1,1,1) =l(e^1,,1,,1r) =(e,,1,,1)

Passo 4

Primeiro confirmamos que v é unitário:
|v|=raiz1^2+(-1)^2+1^2raiz3 =raiz3raiz3=1
Em seguida, calculamos o produto escalar
nabla f(1,1,1)cdot v =l(e,1,1r)cdot1raiz3,(1,-1,1) =1raiz3l(ecdot1 + 1cdot(-1) + 1cdot1r) =eraiz3

Resposta

Dvf(1,1,1)=eraiz3

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