Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções, nos pontos indicados, nas direções dadas.
f(x, y)=e^x cos (pi y), p=(1,0), v=1raiz5(2,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=e^xcos(pi y) no ponto p=(1,0) na direção do vetor unitário v=1raiz5(2,1). Vamos usar o conceito de gradiente:
Dvf(p)=nabla f(p)cdot v

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x(x,y) = e^xcos(pi y),
e a derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y(x,y) = -e^x,pisin(pi y)
Logo, o gradiente é
nabla f(x,y) =l(e^xcos(pi y),,-pi e^xsin(pi y)r)

Passo 3

Avalie o gradiente em p=(1,0):
cos(picdot0)=1, sin(picdot0)=0,
portanto
nabla f(1,0) =l(e^1cdot1,,-pi e^1cdot0r) =(e,,0)

Passo 4

Agora calculamos
Dvf(1,0) =nabla f(1,0)cdot v =(e,0)cdot1raiz5(2,1) =1raiz5,(2e+0) =2eraiz5

Resposta

Dvf(1,0)=2eraiz5

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