Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções, nos pontos indicados, nas direções dadas.
f(x, y)=ln (raizx^2+y^2), p=(1,2), v=(35, 45)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=lnl(raizx^2+y^2r)
no ponto p=(1,2) na direção do vetor unitário v=(tfrac35,tfrac45).
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e produto escalar para obter a derivada direcional.

Passo 2

Vamos encontrar o gradiente de f. Primeiro note que
f(x,y)=lnl((x^2+y^2)^1/2r)=tfrac12ln(x^2+y^2)
Então as derivadas parciais são
partial fpartial x =12cdot2xx^2+y^2 =xx^2+y^2, partial fpartial y =yx^2+y^2
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nabla f(x,y) =l(xx^2+y^2,,yx^2+y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em p=(1,2):
nabla f(1,2) =l(11^2+2^2,,21^2+2^2r) =l(15,,25r)

Passo 4

A derivada direcional de f em p na direção v é o produto escalar
Dvf(1,2) =nabla f(1,2)cdot v =l(tfrac15,tfrac25r)cdotl(tfrac35,tfrac45r) =15cdot35+25cdot45 =3+825 =1125

Resposta

Dvf(1,2)=1125

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