Calcule as derivadas direcionais das seguintes funções, nos pontos indicados, nas direções dadas.
f(x, y)=x+2 x y-3 y^2, p=(1,2), v=(35, 45)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x+2xy-3y^2 no ponto p=(1,2) na direção do vetor unitário v=l(tfrac35,tfrac45r). Para isso vamos usar a definição de derivada direcional via gradiente:
Dvf(p)=nabla f(p)cdot v

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(x+2xy-3y^2r)=1+2y,
fy(x,y)=partialpartial yl(x+2xy-3y^2r)=2x-6y

Passo 3

Avaliar o gradiente em p=(1,2):
fx(1,2)=1+2cdot2=5,
fy(1,2)=2cdot1-6cdot2=2-12=-10
Portanto
nabla f(1,2)=(5,,-10)

Passo 4

Aplicar a definição de derivada direcional:
Dvf(1,2)=nabla f(1,2)cdot v

Passo 5

Fazer o produto escalar:
Dvf(1,2)=5cdot35+(-10)cdot45=3-8=-5

Resposta

-5

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