Mostre que:
Se sumn=1^+infty|an| converge e cn=llan, & se an<0 0, & se an >= 0, então sumn=1^+infty cn converge.

Passo 1

O enunciado trata de séries numéricas e pede para mostrar que, se
sumn=1^inftyl|anr| converge, então a série
sumn=1^inftycn também converge, onde
cn = an, & se an<0, 0, & se an>=0
Vamos usar o teste de comparação para séries de termos não negativos e o fato clássico de que série absolutamente convergente é convergente.

Passo 2

Mostramos que para todo n vale
0 ;<=;|cn|;<=;l|anr|
De fato, se an<0 então cn=an e |cn|=|an|. Se an>=0 então cn=0 e |cn|=0<=|an|.

Passo 3

Como sumn=1^infty|an| converge e |cn|<=|an| para todo n, o teste de comparação garante que
sumn=1^infty|cn| converge.

Passo 4

Uma série cuja série de valores absolutos converge é dita absolutamente convergente, e toda série absolutamente convergente é convergente. Logo
sumn=1^inftycn converge.

Resposta

A série sumn=1^inftycn converge.

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