Mostre que:
Se converge e , então sumn=1^+infty cn converge.
Passo 1
O enunciado trata de séries numéricas e pede para mostrar que, se sumn=1^inftyl|anr| converge, então a série sumn=1^inftycn também converge, onde
cn = an, & se an<0, 0, & se an>=0
Vamos usar o teste de comparação para séries de termos não negativos e o fato clássico de que série absolutamente convergente é convergente.
Passo 2
Mostramos que para todo n vale
0 ;<=;|cn|;<=;l|anr|
De fato, se an<0 então cn=an e |cn|=|an|. Se an>=0 então cn=0 e |cn|=0<=|an|.
Passo 3
Como sumn=1^infty|an| converge e |cn|<=|an| para todo n, o teste de comparação garante que sumn=1^infty|cn| converge.
Passo 4
Uma série cuja série de valores absolutos converge é dita absolutamente convergente, e toda série absolutamente convergente é convergente. Logo sumn=1^inftycn converge.