Sejam f, g com derivadas parciais. a) Prove que
nabla(f g)=f nabla(g)+g nabla(f)
b) Calcule o gradiente da função
F(x, y, z)=(x^2+y^2+z^2) ln (x^2+y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) devemos provar a regra do produto para o gradiente de duas funções escalares f e g com derivadas parciais. Na (b) precisamos calcular o gradiente de
F(x,y,z)=l(x^2+y^2+z^2r),lnl(x^2+y^2+z^2r)
O conteúdo envolvido é o uso da definição de gradiente e a aplicação da regra do produto em derivadas parciais.

Passo 2

Lembrando que, para qualquer função escalar h(x,y,z), o gradiente é
nabla h = l(partial hpartial x,,partial hpartial y,,partial hpartial zr)
Para provar a parte (a) basta mostrar que cada componente de nabla(fg) satisfaz a regra do produto usual.

Passo 3

Seja partialj a derivada parcial em relação à variável j, com jinx,y,z. Então
partial (f,g)partial j =partial fpartial j,g+f,partial gpartial j,
pela regra do produto em derivadas de uma variável. Logo a componente j de nabla(fg) é exatamente a soma da componente j de fnabla g com a componente j de gnabla f.

Passo 4

Como isso vale para j=x,y,z, concluímos
nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f,
o que encerra a prova da parte (a).

Passo 5

Para a parte (b) defina
r^2=x^2+y^2+z^2,
assim F=r^2ln(r^2). Aplicando a regra do produto para partial F/partial x:
partial Fpartial x =partial (r^2)partial x,ln(r^2) +r^2,partialpartial xl[ln(r^2)r]
Como partial(r^2)/partial x=2x e partialln(r^2)/partial x=(1/r^2)cdot2x, temos
partial Fpartial x =2x,ln(r^2)+r^2,2xr^2 =2xl(ln(r^2)+1r)

Passo 6

Por simetria,
partial Fpartial y=2yl(ln(r^2)+1r), partial Fpartial z=2zl(ln(r^2)+1r)
Portanto o gradiente de F é
nabla F =l(2x(ln(r^2)+1),,2y(ln(r^2)+1),,2z(ln(r^2)+1)r) =2l(ln(x^2+y^2+z^2)+1r),(x,y,z)

Resposta

a) nabla(fg)=f,nabla g+g,nabla f.
b) nabla F=2l(ln(x^2+y^2+z^2)+1r),(x,y,z).

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