Sejam
com derivadas parciais. a) Prove que
b) Calcule o gradiente da função
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) devemos provar a regra do produto para o gradiente de duas funções escalares
e
com derivadas parciais. Na (b) precisamos calcular o gradiente de
O conteúdo envolvido é o uso da definição de gradiente e a aplicação da regra do produto em derivadas parciais.
Passo 2
Lembrando que, para qualquer função escalar
, o gradiente é
Para provar a parte (a) basta mostrar que cada componente de
satisfaz a regra do produto usual.
Passo 3
Seja
a derivada parcial em relação à variável
, com
. Então
pela regra do produto em derivadas de uma variável. Logo a componente
de
é exatamente a soma da componente
de
com a componente
de
.
Passo 4
Como isso vale para
, concluímos
o que encerra a prova da parte (a).
Passo 5
Para a parte (b) defina
assim
. Aplicando a regra do produto para
:
Como
e
, temos
Passo 6
Por simetria,
Portanto o gradiente de
é
Resposta
a)
.
b) .
b)