Obtenha a equação da reta normal à curva
x^{2}-x+y^{2}-3 y=0
no ponto (2,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta normal à curva
x^{2}-x+y^{2}-3y=0
no ponto (2,2).
Informações dadas:
  • A curva está definida implicitamente pela equação acima.
  • O ponto em que queremos a reta normal é (2,2).

Passo 2

O que é a reta normal?
  • A reta tangente à curva em um ponto tem inclinação igual à derivada \dfrac{dy}{dx} naquele ponto (ou seja, é a inclinação da curva).
  • A reta normal é a reta perpendicular à tangente nesse ponto. Se a inclinação da tangente é m_{\text{t}}, a inclinação da normal m_{\text{n}} satisfaz
m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{m_{\text{t}}},
desde que m_{\text{t}}\neq0.
Então o plano é: primeiro achar \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita e avaliá-la em (2,2) para obter m_{\text{t}}; depois obter m_{\text{n}} e usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 3

Diferenciação implícita (explicando por que): a curva não está escrita como y=\dots, então derivamos ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y depende de x e que, pela regra da cadeia, ao derivar uma expressão em y aparece um fator \dfrac{dy}{dx} (que chamaremos de y'). Aplicando \dfrac{d}{dx} em cada termo:
\frac{d}{dx}(x^{2})-\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(y^{2})-3\frac{d}{dx}(y)=0.
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,\qquad \frac{d}{dx}(x)=1,
\frac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y',\qquad \frac{d}{dx}(y)=y'.
Substituindo na equação:
2x-1+2y\,y'-3y'=0.

Passo 4

Isolando y' na expressão obtida:
2x-1+(2y-3)y'=0.
Passando o termo com y' para um lado:
(2y-3)y'=-(2x-1).
Logo
y'=\frac{dy}{dx}=-\dfrac{2x-1}{2y-3}.
Essa é a fórmula geral para a derivada da curva em qualquer ponto (x,y) (desde que 2y-3\neq0).

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto dado (2,2). Substituindo x=2 e y=2 na fórmula:
2x-1=2\cdot2-1=3,\qquad 2y-3=2\cdot2-3=1.
Portanto
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,2)}=-\dfrac{3}{1}=-3.
Este é o coeficiente angular da reta tangente em (2,2): m_{\text{t}}=-3.

Passo 6

Calcular a inclinação da reta normal usando m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{m_{\text{t}}}:
m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Escrever a equação da reta normal na forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) usando (x_{0},y_{0})=(2,2) e m=m_{\text{n}}=\dfrac{1}{3}:
y-2=\dfrac{1}{3}(x-2).
Podemos deixar nessa forma ou rearranjar para a forma geral multiplicando ambos os lados por 3 e reorganizando (fiz isso para ter uma forma padrão na resposta final).

Resposta

x-3y+4=0

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