A curva está definida implicitamente pela equação acima.
O ponto em que queremos a reta normal é (2,2).
Passo 2
O que é a reta normal?
A reta tangente à curva em um ponto tem inclinação igual à derivada \dfrac{dy}{dx} naquele ponto (ou seja, é a inclinação da curva).
A reta normal é a reta perpendicular à tangente nesse ponto. Se a inclinação da tangente é m_{\text{t}}, a inclinação da normal m_{\text{n}} satisfaz
m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{m_{\text{t}}},
desde que m_{\text{t}}\neq0.
Então o plano é: primeiro achar \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita e avaliá-la em (2,2) para obter m_{\text{t}}; depois obter m_{\text{n}} e usar a forma ponto-inclinação da reta.
Passo 3
Diferenciação implícita (explicando por que): a curva não está escrita como y=\dots, então derivamos ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y depende de x e que, pela regra da cadeia, ao derivar uma expressão em y aparece um fator \dfrac{dy}{dx} (que chamaremos de y'). Aplicando \dfrac{d}{dx} em cada termo:
Este é o coeficiente angular da reta tangente em (2,2): m_{\text{t}}=-3.
Passo 6
Calcular a inclinação da reta normal usando m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{m_{\text{t}}}:
m_{\text{n}}=-\dfrac{1}{-3}=\dfrac{1}{3}.
Passo 7
Escrever a equação da reta normal na forma ponto-inclinação y-y_{0}=m(x-x_{0}) usando (x_{0},y_{0})=(2,2) e m=m_{\text{n}}=\dfrac{1}{3}:
y-2=\dfrac{1}{3}(x-2).
Podemos deixar nessa forma ou rearranjar para a forma geral multiplicando ambos os lados por 3 e reorganizando (fiz isso para ter uma forma padrão na resposta final).