Seja y(x) definida implicitamente pela equação
x^{3}+y^{3}=8 x y
Obtenha y^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x^{3}+y^{3}=8xy
onde y é uma função de x (isto é, y=y(x)). A tarefa é encontrar a derivada \,y'(x)\, em termos de x e y.

Passo 2

Estratégia: derivar ambos os lados da igualdade em relação a x, lembrando que y depende de x. Ao derivar termos com y usa-se a regra da cadeia; ao derivar um produto usa-se a regra do produto. Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 3

Derivando termo a termo:
  • Derivada de x^{3} em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Derivada de y^{3} em relação a x: usar regra da cadeia. Se y=y(x), então \frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\cdot y', onde y'=\frac{dy}{dx}. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}y'.
  • Derivada do lado direito 8xy: é constante 8 vezes produto x\cdot y(x). Aplica-se a regra do produto: \frac{d}{dx}(x y)=y + x y'. Multiplicando por 8,
\frac{d}{dx}\bigl(8xy\bigr)=8\bigl(y + x y'\bigr)=8y+8x y'.
Juntando tudo, ao derivar a igualdade obtemos
3x^{2}+3y^{2}y' = 8y+8x y'.

Passo 4

Isolar os termos que contêm y' num lado e os restantes no outro. Subtraindo 8x y' e 3x^{2} de ambos os lados:
3y^{2}y' - 8x y' = 8y - 3x^{2}.
Fatorando y' à esquerda:
y'\bigl(3y^{2}-8x\bigr) = 8y - 3x^{2}.

Passo 5

Resolver para y' dividindo ambos os lados por (3y^{2}-8x), supondo que esse denominador não seja zero:
y' = \frac{8y-3x^{2}}{3y^{2}-8x}.
Observação rápida: se 3y^{2}-8x=0 em algum ponto, não é possível expressar y' por essa fórmula aí (isso indica, em geral, uma tangente vertical ou um ponto onde a regra de função implícita precisa de cuidado).

Resposta

\displaystyle y'(x)=\frac{8y-3x^{2}}{3y^{2}-8x}

Exercícios relacionados