Seja
definida implicitamente pela equação
Obtenha
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação implícita
onde
é uma função de
(isto é,
). A tarefa é encontrar a derivada
em termos de
e
.
Passo 2
Estratégia: derivar ambos os lados da igualdade em relação a
, lembrando que
depende de
. Ao derivar termos com
usa-se a regra da cadeia; ao derivar um produto usa-se a regra do produto. Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 3
Derivando termo a termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a : usar regra da cadeia. Se , então , onde . Portanto
- Derivada do lado direito
: é constante vezes produto . Aplica-se a regra do produto: . Multiplicando por ,
Juntando tudo, ao derivar a igualdade obtemos
Passo 4
Isolar os termos que contêm
num lado e os restantes no outro. Subtraindo
e
de ambos os lados:
Fatorando
à esquerda:
Passo 5
Resolver para
dividindo ambos os lados por
, supondo que esse denominador não seja zero:
Observação rápida: se
em algum ponto, não é possível expressar
por essa fórmula aí (isso indica, em geral, uma tangente vertical ou um ponto onde a regra de função implícita precisa de cuidado).