Calcule as derivadas f^prime(x) nos pontos indicados: f(x)=(3 x^2-5 x-2)^4, f^prime(2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=(3x^2-5x-2)^4 e, em seguida, avaliar essa derivada no ponto x=2. O conteúdo principal aqui é derivação usando a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos duas funções: a externa g(u)=u^4 e a interna h(x)=3x^2-5x-2. Sabendo que g'(u)=4u^3 e h'(x)=6x-5, a derivada de f(x)=g(h(x)) é dada por
f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)=4l(3x^2-5x-2r)^3cdot(6x-5)

Passo 3

Agora basta avaliar essa expressão em x=2. Primeiro, calculamos h(2)=3cdot2^2-5cdot2-2=12-10-2=0. Então
f'(2)=4l(h(2)r)^3cdot(6cdot2-5)=4cdot0^3cdot7=0

Resposta

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