Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver. A questão pede pra gente calcular a integral de
no intervalo de 0 a
. Isso é parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas e técnicas de integração. Vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e como integrar funções como a tangente ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que queremos integrar. Sabemos que
pode ser reescrita usando uma identidade trigonométrica. A identidade que vamos usar é:
Isso vai facilitar a nossa integração.
Passo 3
Agora que temos
, podemos substituir na integral:
Isso quebra a integral em duas partes mais simples.
Passo 4
Vamos integrar cada parte separadamente. A integral de
é
e a integral de
é
. Então temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de 0 a
:
Sabemos que
e
, então simplificando:
Passo 6
No entanto, é importante notar que a função
tem uma assíntota vertical em
, onde a tangente não está definida (vai ao infinito). Isso significa que a integral é na verdade uma integral imprópria e precisamos verificar se ela converge.
Passo 7
Vamos dividir a integral em duas partes, considerando o ponto onde a função não está definida:
Ao calcular esses limites, percebemos que a função tende ao infinito próximo de
, o que faz com que a integral não converja.
Resposta
A integral
não converge; ela é divergente.