Calcule as derivadas para f(t) abaixo:
(d) t+1t g(t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t) = (t+1)/(t·g(t)), então estamos em conteúdo de derivada de quociente e produto: vamos usar a regra do quociente junto com a regra do produto para derivar t·g(t).

Passo 2

Definimos u(t)=t+1, v(t)=t·g(t). Assim u′(t)=1 e, pela regra do produto, v′(t)=g(t)+t·g′(t).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente: f′(t) = [u′(t)·v(t) – u(t)·v′(t)] / [v(t)]². Substituindo,

Passo 4

temos f′(t) = [1·(t·g(t)) – (t+1)·(g(t)+t·g′(t))] / [t²·g(t)²]. Simplificando o numerador: t·g(t) – (t+1)·g(t) – t(t+1)·g′(t) = –g(t) – t(t+1)·g′(t).

Resposta

f'(t) = -g(t)+t(t+1),g'(t)t^2,g(t)^2

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