Calcule as derivadas para f(u) abaixo:
(h) u+1u ln (u)

Passo 1

Temos a função f(u)= u+1uln(u). O conteúdo envolvido é derivação de quociente e derivada do logaritmo natural. Vamos usar a regra do quociente, além da regra do produto ao derivar u·ln(u) e da cadeia para ln(u).

Passo 2

Identificamos numerador e denominador da forma f(u)= N(u)D(u) com
N(u)=u+1, D(u)=uln(u)

Passo 3

Derivamos cada um:
N'(u)=1,
D'(u)=ddul(uln(u)r)=1cdotln(u)+ucdot1u=ln(u)+1

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(u)=N'(u),D(u)-N(u),D'(u)[D(u)]^2

Passo 5

Substituindo N, N’, D e D’:
f'(u)=1cdotl(uln(u)r)-(u+1)l(ln(u)+1r)[uln(u)]^2

Passo 6

Agora simplificamos o numerador:
uln(u)-(u+1)ln(u)-(u+1)=uln(u)-uln(u)-ln(u)-u-1=-(u+ln(u)+1)

Passo 7

Portanto, a derivada fica:
f'(u)=-u+ln(u)+1u^2,l(ln(u)r)^2

Resposta

-\frac{u+\ln(u)+1}{u2,(\ln(u))2}

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