Qual a reta tangente ao gráfico da função
no ponto
? Essa reta aproxima a função nessa localidade? Sim ou não? Por que?
Passo 1
A questão pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=sen(x) no ponto (0,sen(0)) e se essa reta aproxima a função nessa vizinhança. Vamos usar derivadas e aproximação linear.
Passo 2
Calcular a derivada de f(x)=sen(x):
A derivada é f’(x)=cos(x). Em x=0 temos f’(0)=cos(0)=1 e f(0)=sen(0)=0.
Passo 3
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula
Substituindo f(0)=0 e f’(0)=1 dá:
Passo 4
Analisar a aproximação: a reta tangente é o polinômio de Taylor de ordem 1 de sen(x) em 0. Para valores pequenos de x, o erro é da ordem de x³, então sen(x)≈x. Logo essa reta aproxima bem a função perto de 0.
Resposta
A reta tangente é y = x. Sim, porque ela é a aproximação linear (primeiro termo do polinômio de Taylor) de sen(x) em 0, e para x próximo de 0 temos sen(x) ≈ x.