Qual a reta tangente ao gráfico da função sen(x) no ponto (0, sen(0)) ? Essa reta aproxima a função nessa localidade? Sim ou não? Por que?

Passo 1

A questão pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=sen(x) no ponto (0,sen(0)) e se essa reta aproxima a função nessa vizinhança. Vamos usar derivadas e aproximação linear.

Passo 2

Calcular a derivada de f(x)=sen(x):
A derivada é f’(x)=cos(x). Em x=0 temos f’(0)=cos(0)=1 e f(0)=sen(0)=0.

Passo 3

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula
y- f(0)=f'(0),(x-0)
Substituindo f(0)=0 e f’(0)=1 dá:
y = x

Passo 4

Analisar a aproximação: a reta tangente é o polinômio de Taylor de ordem 1 de sen(x) em 0. Para valores pequenos de x, o erro é da ordem de x³, então sen(x)≈x. Logo essa reta aproxima bem a função perto de 0.

Resposta

A reta tangente é y = x. Sim, porque ela é a aproximação linear (primeiro termo do polinômio de Taylor) de sen(x) em 0, e para x próximo de 0 temos sen(x) ≈ x.

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