Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=cll3(x-2)^2, & se & x <= 2 (2-x)^3, & se & x>2;

Passo 1

A questão dá uma função por partes e pede: achar assíntotas, pontos críticos, pontos de inflexão, estudar crescimento e concavidade e esboçar o gráfico. O conteúdo que vamos usar é cálculo de primeiras e segundas derivadas e análise de limites para assíntotas.

Passo 2

O domínio de f é ℝ e não há descontinuidades internas. Em x=2 as duas definições coincidem em f(2)=0, logo f é contínua em 2. Como as derivadas laterais em 2 também coincidem (veremos adiante), f é diferenciável em todo ℝ.

Passo 3

Para x≤2 temos f(x)=3(x−2)², então a derivada é
f'(x)=6(x−2)
Para x>2 temos f(x)=(2−x)³, então
f'(x)=-3(2−x)^2

Passo 4

Para encontrar pontos críticos, igualamos f’(x)=0 em cada região. Para x≤2: 6(x−2)=0 ⇒ x=2. Para x>2: -3(2−x)^2=0 ⇒ x=2, mas isso não pertence a x>2. Logo o único ponto crítico é x=2, com f(2)=0.

Passo 5

Analisando o sinal de f’: em x<2, 6(x−2)<0 ⇒ f’<0; em x>2, -3(2−x)^2<0 ⇒ f’<0. Portanto f é estritamente decrescente em (-∞,2) e em (2,∞), com f’(2)=0.

Passo 6

Calculamos a segunda derivada para o estudo de concavidade. Para x<2, derivando f’(x)=6(x−2) dá
f''(x)=6
Para x>2, derivando f’(x)=-3(2−x)^2 dá
f''(x)=6(2−x)

Passo 7

Verificamos inflexão quando f’’ muda de sinal. Em x<2, f’’=6>0 (côncavo para cima); em x>2, 6(2−x)<0 (côncavo para baixo). Há troca de concavidade em x=2, logo inflexão em (2,0).

Passo 8

Para assíntotas, estudamos limites em ±∞ e pontos críticos de domínio. f é polinomial em cada ramo e definido em todo ℝ, não há assíntotas verticais. Como f(x)→+∞ quando x→-∞ e f(x)→-∞ quando x→+∞ sem se aproximar de reta, não há assíntotas horizontais nem oblíquas.

Passo 9

Resumo do esboço: para x<2, f é parábola invertida de concavidade para cima que decresce até (2,0); para x>2, f é ramo de cúbica decrescente e côncava para baixo que passa por (2,0) e segue decrescendo.

Passo 10

No ponto x=2 f’(2)=0 e há ponto de inflexão e ponto crítico (ponto de platô). Não há extremos locais porque f decresce dos dois lados de 2.

Resposta

Assíntotas: não existem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.
Ponto crítico: (2,0).
Ponto de inflexão: (2,0).
Crescimento: f é estritamente decrescente em (-∞,2) e em (2,∞).
Concavidade: côncavo para cima em (-∞,2) e côncavo para baixo em (2,∞).
Esboço: ramo parabolóide decrescente até (2,0), liga-se suavemente a ramo cúbico decrescente de concavidade invertida para baixo para x>2.

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